빈출 유형
절댓값 조건
등차중항
삼차방정식의 실근
출제의도
이 문항은 등차수열에 절댓값 조건이 붙었을 때 “두 항의 절댓값이 같다”를 어떻게 해석하는가를 묻습니다. 절댓값이 같은 두 수는 서로 같거나 부호만 반대인데, 공차가 양수라는 조건이 그중 한 가지 경우를 막아 줍니다. 이 한 줄을 정리하면 a2+a10=0이라는 깔끔한 식이 남습니다.
여기에 등차수열의 가장 강력한 성질인 “번호의 합이 같으면 항의 합도 같다”를 붙이면 a2+a10=2a6이므로 a6=0이 곧바로 나옵니다. 삼차방정식의 실근은 세 개지만 공차가 양수라는 조건이 a5의 값을 하나로 확정해 준다는 점까지 확인하는 것이 Level 2다운 마무리입니다.
단계별 힌트
|A|=|B|라는 식을 보면 곧바로 A=B 또는 A=−B 두 가지 경우를 떠올려야 합니다. 이 문항에서는 A=a2, B=a10입니다.
그런데 공차를 d라 하면 a2=a1+d, a10=a1+9d이므로 두 항이 같아지려면 8d=0, 즉 d=0이어야 합니다. 문제에서 공차가 양수라고 했으니 이 경우는 쓸 수 없습니다. 어느 경우가 남는지 스스로 정리해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
남는 경우는 a2=−a10, 즉 a2+a10=0입니다. 이때 등차수열에서 2와 10의 한가운데 번호가 6이라는 점에 주목하세요.
등차수열에서는 m+n=2k이면 am+an=2ak가 성립합니다(등차중항). 따라서 a2+a10=2a6이고, 이 값이 0이라는 사실에서 어떤 항이 0인지 바로 알 수 있습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
x3+2x2−3x=0을 인수분해하면 x(x+3)(x−1)=0이므로 실근은 −3, 0, 1의 세 개입니다. 이 중 하나가 a5인데, 앞에서 a6=0이고 공차가 양수이므로 a5는 a6보다 작아야 합니다.
a5가 정해지면 공차 d=a6−a5도 정해집니다. 마지막으로 첫째항부터 제10항까지의 합은 10(a1+a10)2 인데, a10=−a2라는 점을 쓰면 a1+a10=a1−a2=−d가 되어 계산이 아주 짧아집니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① −15
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A절댓값 조건에서 a2=a10인 경우를 지우기
공차를 d(d>0)라 하면 a2=a1+d, a10=a1+9d입니다. 만약 a2=a10이라면 8d=0에서 d=0이 되어 d>0에 모순입니다. 따라서 남는 경우는 a2=−a10뿐입니다.
STEP B등차중항으로 a6=0 얻기
a2+a10=0이고, 2와 10의 중간 번호가 6이므로 a2+a10=2a6입니다. 즉 2a6=0에서 a6=0입니다. 수열의 기준점 하나가 확정된 셈입니다.
STEP C실근 중에서 a5 고르기
x3+2x2−3x=0에서 x(x+3)(x−1)=0이므로 x=0 또는 x=−3 또는 x=1입니다. 그런데 a6=0이고 d>0이므로 a5<a6=0이어야 합니다. 세 실근 중 음수는 −3뿐이므로 a5=−3, 따라서 d=a6−a5=0−(−3)=3입니다.
STEP D제10항까지의 합 계산하기
a10=−a2이므로 a1+a10=a1−a2=−d=−3입니다. 따라서 구하는 합은 10(a1+a10)2=5×(−3)=−15이고 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · 일반항을 직접 구해서 확인하기
a6=0, d=3이므로 an=a6+(n−6)d=3(n−6)=3n−18입니다. 이 일반항을 구해 두면 검산이 매우 편합니다. 실제로 a2=−12, a10=12이므로 |a2|=|a10|이 성립하고, a5=−3도 방정식의 실근이 맞습니다.
합은 a1=−15, a10=12이므로 10(−15+12)2=−15로 같은 답이 나옵니다. 또는 S10=10a1+10×92d=−150+45×3=−15로 계산해도 됩니다. 시험장에서는 STEP D의 짧은 계산이 빠르지만, 시간이 남을 때 일반항으로 한 번 더 확인하는 습관이 실수를 크게 줄여 줍니다.
실수를 줄이는 전략
- |a2|=|a10|을 보고 곧바로 a2=−a10이라고 적지 마세요. 두 경우를 모두 쓴 뒤 d>0으로 하나를 버리는 과정이 서술형·논술형에서는 점수와 직결됩니다.
- a2+a10=2a6에서 중간 번호를 잘못 세어 a5나 a7로 쓰는 실수가 잦습니다. 번호의 합이 12, 그 절반이 6이라고 확인하고 넘어가세요.
- 삼차방정식의 실근 0, −3, 1 중에서 아무거나 고르면 안 됩니다. a6=0이므로 a5=0이면 d=0이 되어 조건에 어긋나고, a5=1이면 d=−1<0이 되어 역시 탈락합니다. 공차의 부호가 답을 걸러 준다는 점을 기억하세요.
- 합 공식은 Sn=n(a1+an)2입니다. 항의 개수 n과 마지막 항의 번호를 혼동해 S10에 a9를 넣는 실수를 조심하세요.
엄선된 풀이 영상
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“수능특강 수학Ⅰ 등차수열과 등비수열 Level 2 3번”에 대한 1개의 생각