기초 필수
등차수열의 합
공차 구하기
출제의도
이 문항은 등차수열의 합 공식 Sn=n{2a1+(n−1)d}2를 외우고 그대로 대입할 수 있는지를 확인합니다. 첫째항 5와 항의 개수 6이 주어져 있으므로, 공식에 넣으면 미지수 d에 대한 일차방정식 하나가 남습니다.
합 공식에는 두 가지 형태가 있습니다. 첫째항과 공차를 아는 경우에는 위 식을, 첫째항과 끝항을 아는 경우에는 Sn=n(a1+an)2를 씁니다. 이 문항은 두 형태 중 어느 쪽을 골라도 풀리므로, 공식을 구분해서 쓰는 연습을 하기에 좋은 문항입니다.
단계별 힌트
등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합은 Sn=n{2a1+(n−1)d}2입니다. 중괄호 안이 ‘첫째항 2개분 + 공차 (n−1)개분’이라는 점만 기억하면 식을 떠올리기 쉽습니다.
문제에서 주어진 값은 a1=5, n=6, S6=60입니다. 모르는 것은 공차 d 하나뿐이므로, 공식에 그대로 넣으면 d에 대한 방정식이 만들어집니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
a1=5를 먼저 대입하면 첫째항부터 제n항까지의 합은 n{2×5+(n−1)d}2=n{10+(n−1)d}2가 됩니다.
여기에 n=6을 넣으면 (n−1)d는 5d가 됩니다. 즉 합은 6(10+5d)2가 되고, 이 값이 60이라는 방정식을 세우면 됩니다. 6항까지의 합이므로 공차는 5번 더해진다는 점을 확인하세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
6(10+5d)2에서 6을 2로 나누면 3(10+5d)가 됩니다. 이 값이 60이므로 양변을 3으로 나누어 10+5d=20을 만든 뒤 d를 구하면 끝입니다. 괄호를 먼저 전개하지 말고 약분부터 하는 편이 훨씬 빠릅니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A합 공식에 첫째항과 항의 개수 넣기
첫째항이 5이고 공차가 d이므로 첫째항부터 제n항까지의 합은 n{2×5+(n−1)d}2입니다. n=6을 대입하면 첫째항부터 제6항까지의 합은 6(10+5d)2가 됩니다.
STEP B방정식을 풀어 공차 구하기
6(10+5d)2=60에서 3(10+5d)=60, 즉 10+5d=20입니다. 따라서 5d=10이므로 d=2이고 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 첫째항과 끝항의 합으로 계산하기
항의 개수가 적을 때는 Sn=n(a1+an)2 쪽이 더 간단합니다. S6=6(a1+a6)2=3(a1+a6)=60이므로 a1+a6=20입니다.
a1=5이므로 a6=15이고, a6=a1+5d=5+5d이므로 5+5d=15에서 d=2를 얻습니다. 이 방식은 ‘앞뒤로 짝지어 더하면 항상 같다’는 등차수열의 대칭성을 그대로 쓰는 것이어서, 합 조건이 두 개 이상 나오는 Level 2 문항에서 특히 유용합니다.
실수를 줄이는 전략
- 제6항까지의 합에서 공차는 6번이 아니라 5번 더해집니다. (n−1)d의 (n−1)을 n으로 잘못 쓰면 d=53 같은 답이 나와 선택지에 없게 됩니다.
- 분수 형태를 그대로 두고 전개하면 계산이 길어집니다. 분자의 6과 분모의 2를 먼저 약분해 3(10+5d) 꼴로 만든 뒤 푸세요.
- 2×5=10을 빠뜨리고 (5+5d)로 쓰는 실수가 잦습니다. 중괄호 안의 첫 항은 a1이 아니라 2a1입니다.
- 답을 구한 뒤 d=2로 수열을 직접 써 보면 5, 7, 9, 11, 13, 15이고 합이 60임을 30초 안에 검산할 수 있습니다. Level 1에서는 이 검산 습관을 꼭 들이세요.
엄선된 풀이 영상
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“수능특강 수학Ⅰ 등차수열과 등비수열 Level 1 2번”에 대한 1개의 생각