수능특강 수학Ⅰ 등차수열과 등비수열 Level 1 1번

01
기초 필수

05 등차수열과 등비수열
등차수열의 일반항
첫째항 구하기

출제의도

이 문항은 등차수열의 일반항 a_n=a₁+(n−1)d를 정확히 쓸 수 있는지를 확인합니다. 공차가 5라는 조건이 이미 주어져 있으므로, 미지수는 첫째항 a₁ 하나뿐입니다. 조건식 a₂+a₉=87을 a₁에 대한 일차방정식으로 바꾸는 것이 전부입니다.

수열 단원의 첫 문항답게 계산량은 적지만, ‘몇 번째 항인지’와 ‘공차를 몇 번 더했는지’를 혼동하면 답이 어긋납니다. a₉는 첫째항에 공차를 9번이 아니라 8번 더한 항이라는 점, 이 하나가 단원 전체에서 가장 많이 실수하는 지점입니다.

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.

힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

등차수열은 첫째항에서 출발해 같은 수(공차)를 계속 더해 가며 만들어집니다. 그래서 제n항은 첫째항에 공차를 (n−1)번 더한 값입니다. 식으로 쓰면 a_n=a₁+(n−1)d입니다.

이 문항에서는 d=5로 이미 정해져 있으므로 a_n=a₁+(n−1)×5가 됩니다. 모르는 값은 a₁ 하나뿐이라는 사실을 먼저 확인하세요.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

a₂와 a₉를 각각 a₁로 나타내 보세요. 제2항은 공차를 1번 더한 항이므로 a₂=a₁+5이고, 제9항은 공차를 8번 더한 항이므로 a₉=a₁+8×5입니다.

‘9번째 항이니까 5를 9번 더한다’가 아니라 ‘9−1=8번 더한다’입니다. 첫째항 자체는 공차를 한 번도 더하지 않은 항이라는 점을 떠올리면 헷갈리지 않습니다.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

두 식을 조건 a₂+a₉=87에 그대로 대입하면 (a₁+5)+(a₁+40)=87이 됩니다. 좌변을 정리하면 2a₁+45 꼴의 일차식이 나오므로, 상수항을 우변으로 넘겨 a₁을 구하면 끝입니다.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 ① 21

수능특강 수학Ⅰ 등차수열과 등비수열 Level 1 1번 상세 해설

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A두 항을 첫째항으로 바꿔 쓰기

공차가 5이므로 일반항은 a_n=a₁+(n−1)×5입니다. 따라서 a₂=a₁+5, a₉=a₁+8×5=a₁+40이 됩니다. 조건에 등장하는 항을 모두 a₁ 하나로 통일하는 것이 첫 단계입니다.

STEP B일차방정식을 풀어 첫째항 구하기

a₂+a₉=87에 대입하면 (a₁+5)+(a₁+40)=87, 즉 2a₁+45=87입니다. 45를 옮기면 2a₁=42이므로 a₁=21이고 정답은 ①입니다.

등차수열에서는 첨자(번호)의 합이 같으면 두 항의 합도 같다는 성질이 성립합니다. 즉 m+n=p+q이면 a_m+a_n=a_p+a_q입니다. 2+9=11이고 5+6=11이므로 a₂+a₉=a₅+a₆=87입니다.

a₆=a₅+5이므로 2a₅+5=87에서 a₅=41이고, 제5항은 첫째항에 공차를 4번 더한 항이므로 a₁=41−4×5=21입니다. 이 성질은 뒤에 나오는 수열의 합 문항에서 계산을 크게 줄여 주므로, 쉬운 문항에서 미리 익혀 두면 좋습니다.

a₉=a₁+9d로 쓰는 실수가 가장 많습니다. 제n항은 공차를 (n−1)번 더한 항이라는 점을 항상 먼저 확인하세요.
공차가 이미 주어진 문항에서는 미지수가 첫째항 하나뿐입니다. 굳이 a₁과 d를 모두 미지수로 두고 연립방정식을 세울 필요가 없습니다.
8×5=40을 암산으로 넘기다 45나 35로 쓰는 계산 실수가 잦습니다. 상수항은 한 번 더 확인하고 넘어가세요.
선택지가 21, 23, 25, 27, 29처럼 2씩 차이 나는 것은 2a₁=42에서 나누기를 빠뜨린 학생을 걸러내기 위한 배치입니다. 마지막에 2로 나누는 단계를 반드시 거치세요.

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