기초 필수
사인법칙
변의 비와 사인값의 비
출제의도
이 문항은 사인법칙을 “변의 길이의 비는 마주 보는 각의 사인값의 비와 같다”는 형태로 바로 꺼내 쓸 수 있는지를 확인합니다. 두 변의 길이가 실제 값이 아니라 3 : 4라는 비로만 주어져 있기 때문에, 비를 문자로 놓고 식을 세우는 기본 동작이 자연스럽게 나오는지가 관건입니다.
Level 1 첫 문항답게 계산은 한 줄로 끝나지만, 사인법칙 단원 전체에서 가장 자주 쓰이는 “어느 변이 어느 각과 마주 보는가”를 정확히 짝짓는 습관이 그대로 담겨 있습니다. 이 짝짓기가 손에 익어야 뒤에 나오는 외접원, 넓이 문항에서 흔들리지 않습니다.
단계별 힌트
삼각형에서 각 A와 마주 보는 변은 BC, 각 B와 마주 보는 변은 CA입니다. 문제에 주어진 두 변 BC, CA와 두 각 A, B가 정확히 이 짝을 이루고 있다는 것을 먼저 확인하세요.
변의 길이가 비로만 주어졌으므로 BC=3k, CA=4k (k>0)처럼 문자를 하나 잡아 두면 식을 세우기 편해집니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
사인법칙은 BCsin A=CAsin B입니다. 이 식을 sin B에 대해 정리하면 sin B=CABC×sin A가 되어, 변의 비만 알면 k 없이도 값이 결정됩니다.
즉 sin B : sin A는 CA : BC와 같다는 뜻이므로, 4 : 3이라는 비에 sin A를 곱하기만 하면 됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
sin B=4k3k×√24에서 k는 약분되어 사라지고, 분자의 4와 분모의 4도 약분됩니다. 남는 분수를 정리해 선택지와 비교하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① √23
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A변의 비를 문자로 놓기
BC : CA=3 : 4이므로 BC=3k, CA=4k (k>0)라 둡니다. 실제 길이는 몰라도 사인법칙에서는 두 변의 비만 쓰이므로 k는 마지막에 사라집니다.
STEP B사인법칙으로 sin B 구하기
BCsin A=CAsin B에서 sin B=CABC×sin A=4k3k×√24=√23입니다. 따라서 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · 외접원 반지름 R로 생각하기
사인법칙을 BC=2R sin A, CA=2R sin B 꼴로 기억하고 있다면 비를 잡을 필요조차 없습니다. BC : CA=2R sin A : 2R sin B=sin A : sin B이므로, 변의 비 3 : 4가 곧 sin A : sin B입니다.
따라서 sin B=43 sin A=43×√24=√23으로 한 줄에 끝납니다. “변의 비=사인값의 비”라는 문장을 통째로 외워 두면 이런 유형은 암산으로 처리할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 변과 각의 짝을 먼저 확인하세요. BC는 각 A의 대변, CA는 각 B의 대변입니다. 이 짝을 거꾸로 잡으면 sin B=34 sin A가 되어 틀린 값이 나옵니다.
- 비로 주어진 길이는 반드시 k>0을 붙여 문자로 놓으세요. 3과 4를 실제 길이로 착각해도 이 문제에서는 답이 같지만, 넓이나 외접원 반지름을 묻는 문항에서는 바로 틀립니다.
- 분수 계산에서 4끼리 약분하는 것을 잊고 4√212에서 멈추지 마세요. 끝까지 기약분수로 정리해야 선택지와 맞춰 볼 수 있습니다.
- 선택지의 √33이나 12은 특수각의 사인값처럼 보여 눈길을 끌지만, 이 문제의 각은 특수각이 아닙니다. 익숙한 값에 끌려가지 말고 계산 결과를 그대로 믿으세요.
엄선된 풀이 영상
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