Level 3 실력
삼각함수의 최대·최소
cos x=t 치환
절댓값 구간 나누기
출제의도
이 문항은 sin2x와 |cos x−(상수)|가 섞여 있는 함수를 보고, “결국 cos x 하나로 통일되는 이차함수구나”를 읽어낼 수 있는지를 묻습니다. 절댓값 기호는 cos x가 12a보다 큰 구간과 작은 구간에서 식이 달라지도록 만들어 두었고, 문제에서 정의한 α와 2π−α가 바로 그 경계입니다.
Level 3답게 계산 자체보다 ‘구간을 어떻게 나누고, 각 구간에서 t의 범위를 어떻게 잡는가’가 승부처입니다. 두 구간에서 (최댓값−최솟값)이 같다는 조건을 꼭짓점의 위치와 구간의 양 끝점 사이의 관계로 바꿔 읽으면, 마지막에는 a에 대한 간단한 이차부등식 하나로 정리됩니다.
단계별 힌트
절댓값 안의 cos x−12a의 부호가 바뀌는 곳이 어디인지부터 잡아야 합니다. cos α=12a이고 y=cos x의 그래프는 x=π에 대하여 대칭이므로, 0≤x≤2π에서 cos x=12a가 되는 x는 α와 2π−α 두 개입니다.
그래프를 그려 보면 0≤x<α 또는 2π−α<x≤2π에서는 cos x가 12a보다 크고, α≤x≤2π−α에서는 작습니다. 절댓값을 벗길 때 부호가 어떻게 되는지 구간마다 적어 두세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
sin2x=1−cos2x이므로 cos x=t로 놓으면 함수 전체가 t에 대한 이차함수가 됩니다. 이때 각 구간에서 t가 움직이는 범위를 반드시 함께 적어야 합니다. 0≤x≤α에서는 12a≤t≤1이고, α≤x≤2π−α에서는 −1≤t≤12a입니다.
두 구간에서 나오는 이차식은 각각 −at2+t+(상수), −at2−t+(상수) 꼴입니다. 완전제곱식으로 고쳐 꼭짓점의 t좌표를 구해 보세요. 하나는 t=12a, 다른 하나는 t=−12a에서 꼭짓점을 가집니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
첫 번째 구간 12a≤t≤1에서는 꼭짓점이 왼쪽 끝에 있으므로 최댓값은 꼭짓점, 최솟값은 t=1에서 나옵니다. 두 번째 구간 −1≤t≤12a에서는 꼭짓점 t=−12a가 구간 안에 있으므로 최댓값은 꼭짓점, 최솟값은 양 끝 t=−1과 t=12a 중 더 작은 쪽입니다.
M1−m1=M2−m2에서 m2를 a로 나타내 보면 t=−1에서의 값과 정확히 일치합니다. 따라서 “t=−1에서의 값이 t=12a에서의 값보다 크지 않다”는 부등식을 풀면 a의 범위가 나옵니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 32
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A절댓값을 벗겨 구간별로 식 나누기
cos α=12a이고 cos x=12a의 해는 α, 2π−α입니다. 0≤x<α 또는 2π−α<x≤2π에서는 cos x−12a≥0이므로 f(x)=a sin2x+cos x−12a, α≤x≤2π−α에서는 부호가 반대이므로 f(x)=a sin2x−cos x+12a입니다.
STEP Bcos x=t로 치환하고 t의 범위 잡기
sin2x=1−t2이므로 0≤x≤α에서는 g(t)=−at2+t+a−12a (12a≤t≤1), α≤x≤2π−α에서는 h(t)=−at2−t+a+12a (−1≤t≤12a)가 됩니다. 완전제곱식으로 고치면 g(t)=−a(t−12a)2+a−14a, h(t)=−a(t+12a)2+a+34a입니다.
STEP C첫 번째 구간의 M1−m1 구하기
g(t)의 꼭짓점 t=12a가 구간의 왼쪽 끝이므로 M1=g(12a)=a−14a, m1=g(1)=1−12a입니다. 따라서 M1−m1=a−1+14a입니다.
STEP D두 번째 구간의 M2와 m2 살피기
a>12이므로 −1<−12a<0<12a, 즉 꼭짓점이 구간 안에 있습니다. 그러므로 M2=h(−12a)=a+34a이고, m2는 양 끝값 h(−1)=1+12a와 h(12a)=a−14a 중 크지 않은 값입니다.
STEP E조건을 부등식으로 바꿔 a의 범위 구하기
M1−m1=M2−m2에서 m2=M2−(M1−m1)=1+12a이고, 이것은 h(−1)과 같습니다. 즉 m2=h(−1)이어야 하므로 h(−1)≤h(12a), 곧 1+12a≤a−14a입니다. 양변에 4a를 곱해 정리하면 4a2−4a−3≥0, (2a−3)(2a+1)≥0이고 a>12이므로 a≥32입니다. 따라서 a의 최솟값은 32, 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · ‘꼭짓점에서 가장 먼 끝점까지의 거리’로 읽기
두 이차함수 g(t), h(t)는 모두 최고차항의 계수가 −a로 같습니다. 위로 볼록한 포물선에서 꼭짓점이 구간 안에 있을 때, (최댓값−최솟값)은 꼭짓점에서 가장 먼 끝점까지의 거리를 d라 하면 항상 a·d2입니다. 값을 일일이 계산하지 않아도 ‘거리’만 비교하면 되는 셈입니다.
첫 번째 구간에서는 꼭짓점 12a에서 끝점 1까지의 거리가 1−12a이므로 M1−m1=a(1−12a)2입니다. 두 번째 구간에서는 꼭짓점 −12a에서 끝점 −1까지의 거리가 1−12a, 끝점 12a까지의 거리가 1a입니다. 두 구간의 차가 같으려면 두 번째 구간에서 더 먼 끝점이 −1 쪽이어야 하므로 1a≤1−12a, 양변에 2a를 곱하면 2≤2a−1, 즉 a≥32가 바로 나옵니다.
완전제곱식의 상수항을 계산하고 빼는 과정이 통째로 사라지므로 계산 실수가 줄고, 조건의 의미(“두 구간에서 포물선이 같은 만큼 내려온다”)가 눈에 그대로 보입니다. 이차함수의 최대·최소 문항에서 두루 쓸 수 있는 시각이니 익혀 두세요.
실수를 줄이는 전략
- 절댓값을 벗길 때 경계는 α 하나가 아니라 α와 2π−α 두 개입니다. y=cos x 그래프를 작게라도 그려서 cos x가 12a보다 큰 구간과 작은 구간을 눈으로 확인한 뒤 식을 나누세요.
- cos x=t로 치환한 뒤에는 x의 구간이 t의 구간으로 어떻게 바뀌는지 반드시 따로 적어야 합니다. 0≤x≤α에서 t는 1에서 12a까지 줄어들고, α≤x≤2π−α에서 t는 −1까지 내려갔다가 다시 12a로 돌아옵니다.
- 두 번째 구간에서 최솟값을 무조건 t=−1로 단정하면 안 됩니다. 꼭짓점이 구간 안에 있으므로 최솟값은 양 끝점 중 작은 쪽이고, 어느 쪽이 작은지가 바로 a의 범위를 결정하는 핵심 조건입니다.
- a>12라는 조건은 −12a가 −1과 0 사이에 있음을 보장하는 장치입니다. 이 조건 덕분에 꼭짓점이 구간 안에 들어온다는 점을 놓치지 마세요. 마지막 이차부등식의 근 −12도 이 조건으로 걸러집니다.
- 4a2−4a−3≥0을 인수분해할 때 (2a−3)(2a+1)의 부호를 헷갈리는 실수가 잦습니다. a=1을 대입해 음수가 나오는지 확인하는 습관을 들이면 안전합니다.
엄선된 풀이 영상
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