수능특강 수학Ⅰ 삼각함수 Level 2 2번

02
기본 연습

03 삼각함수
내심과 각의 이등분
π/2+θ의 삼각함수

출제의도

이 문항은 삼각함수 문제처럼 보이지만 실제 핵심은 ‘각 추적’입니다. 내심은 세 내각을 이등분한다는 사실 하나로 세 각을 문자로 두고, 주어진 조건들을 각에 대한 식으로 바꾸면 ∠ABC와 ∠C 사이의 숨은 관계가 드러납니다.

관계를 찾고 나면 남은 일은 cos(π2+θ)=−sin θ로 부호를 정리하고, sin²θ+cos²θ=1로 코사인 값을 구하는 것뿐입니다. 도형 조건을 각의 관계식으로 옮기는 연습은 이후 사인법칙·코사인법칙 단원의 도형 문항에서도 그대로 쓰입니다.

단계별 힌트

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.

힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

내심 I는 세 내각의 이등분선이 만나는 점입니다. 그래서 ∠A=2α, ∠B=2β, ∠C=2γ로 두면 계산이 깔끔해지고, 세 내각의 합에서 α+β+γ=π2를 얻습니다.

이제 삼각형 ABI의 내각의 합을 이용해 ∠BIA를 α, β로 나타내 보고, 다시 γ 하나로 바꿔 보세요. 그러면 주어진 코사인 값이 어떤 각의 사인 값인지 보입니다.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

선분 AD와 ID의 길이가 같으므로 삼각형 ADI는 이등변삼각형이고, 두 밑각 ∠DAI와 ∠DIA는 같습니다. ∠DAI는 ∠A를 이등분한 각이므로 α입니다.

그러면 삼각형 ADI의 한 외각인 ∠IDC는 두 밑각의 합과 같습니다. 이제 삼각형 DIC의 세 내각 ∠DIC, ∠IDC, ∠ICD를 모두 α, β, γ로 나타내고 합이 π라는 식을 세워 보세요. ∠DIC=2∠ABC이고 ∠ABC 자체가 2β라는 점을 놓치지 마세요.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

삼각형 DIC에서 얻은 식과 삼각형 ABC의 내각의 합 식을 서로 빼면 α가 사라지고 β와 γ 사이의 관계만 남습니다. 그 관계를 보면 ∠ABC가 어떤 각과 같은지 알 수 있고, 1단계에서 구한 사인 값을 그대로 쓸 수 있습니다. 마지막으로 ∠ABC가 예각인지 확인한 뒤 sin²θ+cos²θ=1로 마무리하세요.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 ② √53

상세 해설

수능특강 수학Ⅰ 삼각함수 Level 2 2번 상세 해설 1

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A∠BIA를 γ로 나타내 sin γ 구하기

∠A=2α, ∠B=2β, ∠C=2γ라 하면 α+β+γ=π2입니다. 삼각형 ABI에서 ∠BIA=π−α−β=π2+γ이므로 cos(∠BIA)=cos(π2+γ)=−sin γ입니다. 따라서 −sin γ=−23, 즉 sin γ=23입니다.

STEP B이등변삼각형과 외각으로 각의 관계 찾기

삼각형 ADI에서 ∠DIA=∠DAI=α이므로 외각 ∠IDC=2α입니다. 삼각형 DIC에서 ∠DIC=2∠ABC=4β, ∠ICD=γ이므로 4β+2α+γ=π입니다. 이 식에서 2α+2β+2γ=π를 빼면 2β−γ=0, 즉 γ=2β=∠ABC입니다.

STEP C코사인 값 구하기

∠ABC=γ이므로 sin(∠ABC)=23이고, γ는 π2보다 작은 예각이므로 코사인 값은 양수입니다. 따라서 cos(∠ABC)=√(1−49)=√53이고 정답은 ②입니다.

1등급 다른 풀이 · 내심의 각 공식으로 바로 연결하기

내심에 대해서는 ∠AIC=π2+12∠B라는 공식이 자주 쓰입니다(STEP A에서 ∠BIA를 구한 것과 같은 원리입니다). 점 D가 선분 AC 위에 있으므로 ∠AIC는 ∠AID와 ∠DIC로 나뉘고, ∠AID=α, ∠DIC=4β입니다.

따라서 π2+β=α+4β, 즉 α=π2−3β입니다. 이를 α+β+γ=π2에 넣으면 곧바로 γ=2β가 나옵니다. 삼각형 DIC의 외각을 따로 계산하지 않아도 되므로 식이 한 줄 줄어듭니다. 내심 문항에서는 ‘∠BIC=π2+12∠A’ 꼴의 세 공식을 먼저 떠올리는 습관을 들이면 좋습니다.

실수를 줄이는 전략

∠BIA에 들어가는 반각은 ∠A나 ∠B가 아니라 남은 꼭짓점 C의 반각입니다. ∠BIA=π2+12∠C처럼 ‘마주 보는 꼭짓점’을 확인하세요.
cos(π2+θ)=−sin θ에서 부호를 놓치면 sin γ=−23이 되어 풀이가 막힙니다. 삼각형의 반각은 항상 예각이므로 사인 값은 양수여야 합니다.
∠DIC=2∠ABC에서 ∠ABC를 β로 두면 안 됩니다. 이등분한 각이 β이므로 ∠ABC=2β, ∠DIC=4β입니다.
선택지 ①의 23은 사인 값을 구하고 멈춘 학생을 걸러내기 위한 것입니다. 문제가 묻는 것이 cos(∠ABC)인지 마지막에 다시 확인하세요.

엄선된 풀이 영상

위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.

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