기본 연습
부채꼴의 넓이
넓이 분해 (더하고 빼기)
출제의도
이 문항은 곡선으로 둘러싸인 낯선 모양의 넓이를 “넓이를 아는 도형들의 합과 차”로 바꿔 볼 수 있는지를 확인합니다. 반원의 중심을 잡는 순간, 색칠된 부분은 삼각형 하나와 부채꼴 두 개로 깔끔하게 나뉩니다.
그 과정에서 반원의 지름에 대한 원주각은 직각이라는 성질, 중심각은 원주각의 2배라는 성질, 그리고 호도법으로 쓴 부채꼴의 넓이 공식 12r2θ가 한꺼번에 쓰입니다. 삼각함수 단원에서 도형 넓이 문항이 나오면 거의 매번 반복되는 흐름이므로, 이 문항으로 순서를 몸에 익혀 두면 좋습니다.
단계별 힌트
점 A를 중심으로 하는 원에서 선분 AP와 선분 AQ는 모두 반지름이므로 길이가 같습니다. 즉 삼각형 APQ는 이등변삼각형이고, 밑각이 주어졌으니 꼭지각 ∠PAQ를 바로 구할 수 있습니다.
또 선분 AB는 반원의 지름이므로, 호 위의 점 P에 대하여 ∠APB는 직각입니다. 직각삼각형 APB에서 코사인을 쓰면 선분 AP의 길이가 나옵니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
색칠된 부분을 그대로 계산하려 하지 말고, 반원의 중심(선분 AB의 중점)을 O라 두고 도형을 쪼개 보세요. 선분 AP, 호 PB, 선분 AB로 둘러싸인 부분은 ‘삼각형 AOP + 부채꼴 OBP’이고, 여기서 점 A를 중심으로 하는 부채꼴 AQP를 빼면 구하는 부분만 남습니다.
이때 필요한 공식은 두 가지입니다. 두 변과 끼인각을 알 때 삼각형의 넓이는 12ab sin θ, 반지름 r, 중심각 θ인 부채꼴의 넓이는 12r2θ입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
부채꼴 OBP의 중심각 ∠POB는 같은 호 PB에 대한 원주각 ∠PAB의 2배입니다. 그러면 ∠AOP는 π에서 ∠POB를 뺀 값이 됩니다. 세 도형의 반지름이 각각 2, 2, 선분 AP의 길이라는 점에 주의해서 넓이를 구하고, 앞의 두 넓이를 더한 뒤 마지막 부채꼴 넓이를 빼 보세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② √3 − π3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A이등변삼각형과 직각삼각형으로 각과 길이 구하기
선분 AP와 AQ의 길이가 같으므로 ∠PAQ=π−2×512π=π6입니다. 선분 AB가 지름이므로 ∠APB=π2이고, 직각삼각형 APB에서 선분 AP의 길이는 4×cosπ6=4×√32=2√3입니다.
STEP B중심 O를 잡고 넓이를 셋으로 나누기
선분 AB의 중점을 O라 하면 반지름은 2입니다. 삼각형 AOP의 넓이를 S1, 부채꼴 OBP의 넓이를 S2, 부채꼴 AQP의 넓이를 S3이라 하면 구하는 넓이는 S1+S2−S3입니다. 중심각은 원주각의 2배이므로 ∠POB=2×π6=π3, ∠AOP=π−π3=23π입니다.
STEP C세 넓이를 계산해 더하고 빼기
S1=12×2×2×sin23π=√3, S2=12×22×π3=23π, S3=12×(2√3)2×π6=π입니다. 따라서 구하는 넓이는 √3+23π−π=√3−π3이고 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 직각삼각형 + 활꼴로 나누기
중심 O를 쓰는 대신 직각삼각형 APB를 통째로 쓰는 방법도 있습니다. 직각삼각형 APB에서 선분 PB의 길이는 4×sinπ6=2이므로 삼각형 APB의 넓이는 12×2√3×2=2√3입니다. 여기에 현 PB와 호 PB 사이의 활꼴을 더하면 선분 AP, 호 PB, 선분 AB로 둘러싸인 부분이 됩니다.
∠POB=π3이고 선분 OP, OB의 길이가 모두 2이므로 삼각형 OPB는 한 변의 길이가 2인 정삼각형(넓이 √3)입니다. 활꼴의 넓이는 부채꼴 OBP에서 이 정삼각형을 뺀 23π−√3이므로, 전체는 2√3+23π−√3=√3+23π입니다. 여기서 부채꼴 AQP의 넓이 π를 빼면 똑같이 √3−π3이 나옵니다. 중심각이 π3인 순간 정삼각형이 숨어 있다는 것을 알아채는 눈이 생기면, 이런 넓이 문항은 훨씬 빨라집니다.
실수를 줄이는 전략
- 주어진 512π는 밑각 ∠AQP입니다. 부채꼴 AQP의 중심각은 꼭지각 ∠PAQ=π6이므로, 주어진 각을 그대로 부채꼴 공식에 넣지 않도록 주의하세요.
- 세 도형의 반지름이 모두 다릅니다. 부채꼴 OBP는 반지름 2, 부채꼴 AQP는 반지름 2√3입니다. 반원의 반지름 2나 지름 4를 부채꼴 AQP에 잘못 쓰는 실수가 가장 흔합니다.
- 부채꼴의 넓이 12r2θ에서 θ는 반드시 라디안입니다. 60°를 그대로 넣으면 값이 완전히 달라집니다.
- 선택지에 √3+π3이 있는 것은 더하고 빼는 순서를 뒤집은 학생을 걸러내기 위한 것입니다. 마지막에 넓이가 양수인지, 그림의 크기와 어울리는지(약 0.68) 한 번 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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