기초 필수
삼각함수 사이의 관계
사분면과 부호 판단
출제의도
이 문항은 분수 꼴로 주어진 삼각함수 식을 보고 “tan를 sin과 cos로 풀어 쓰고, 분모를 sin2θ 하나로 맞출 수 있는가?”를 확인합니다. 복잡해 보이는 두 분수가 통분 한 번으로 1sin2θ 하나로 깔끔하게 줄어드는 것이 이 문항의 핵심입니다.
값을 구한 뒤에는 θ가 어느 사분면에 있는지를 보고 tanθ의 부호를 결정해야 합니다. 삼각함수 단원에서 반복되는 두 가지 기본 동작, 즉 ‘sin2θ+cos2θ=1로 식 정리하기’와 ‘사분면으로 부호 정하기’가 모두 들어 있는 문항입니다.
단계별 힌트
tanθ가 섞여 있으면 식을 정리하기 어렵습니다. 가장 먼저 tanθ=sinθcosθ로 바꿔서, 식 전체를 sinθ와 cosθ만으로 나타내 보세요.
그러면 두 번째 분수 1sinθ tanθ는 분모에 sinθ가 두 번 곱해진 꼴이 되어 cosθsin2θ로 간단해집니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
첫 번째 분수 11−cosθ의 분모와 분자에 (1+cosθ)를 곱하면 분모가 1−cos2θ가 됩니다. 이것은 sin2θ+cos2θ=1에 의해 sin2θ와 같습니다. 중학교 때 쓰던 (a−b)(a+b)=a2−b2를 그대로 활용하는 것입니다.
이렇게 하면 두 분수의 분모가 모두 sin2θ로 같아지므로 분자끼리 빼기만 하면 됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
통분하여 정리한 식이 95와 같다는 조건에서 sin2θ의 값을 먼저 구하세요. 그다음 cos2θ=1−sin2θ로 cos2θ를 구하고, tan2θ=sin2θcos2θ를 계산합니다.
마지막으로 32π<θ<2π는 제4사분면이라는 점을 떠올려 tanθ의 부호를 정하면 끝입니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① −√52
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Atan를 풀어 쓰고 분모를 sin2θ로 통일하기
1sinθ tanθ=cosθsin2θ이고, 11−cosθ=1+cosθ1−cos2θ=1+cosθsin2θ입니다. 두 분수의 분자끼리 빼면 (1+cosθ)−cosθ=1이므로 주어진 식의 좌변은 1sin2θ로 정리됩니다.
STEP Bsin2θ에서 tan2θ로 넘어가기
1sin2θ=95에서 sin2θ=59이고, cos2θ=1−59=49입니다. 따라서 tan2θ=59÷49=54입니다.
STEP C사분면으로 부호 결정하기
32π<θ<2π에서 θ는 제4사분면의 각이므로 sinθ<0, cosθ>0이고 tanθ<0입니다. 따라서 tanθ=−√52이고 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · sin2θ를 거치지 않고 tanθ로 바로 가기
좌변이 1sin2θ로 정리된 순간, 항등식 sin2θ+cos2θ=1의 양변을 sin2θ로 나누어 보세요. 1+cos2θsin2θ=1sin2θ, 즉 1+1tan2θ=1sin2θ라는 관계를 얻습니다.
이 관계에 조건을 넣으면 1+1tan2θ=95이므로 1tan2θ=45, tan2θ=54가 곧바로 나옵니다. cos2θ를 따로 구하는 과정이 사라져 계산이 한 줄 줄어듭니다. 구하는 값이 tanθ인데 식이 sin2θ로 정리되는 문항에서는 이 관계를 떠올리면 가장 빠릅니다.
실수를 줄이는 전략
- 통분할 때 11−cosθ의 분자에도 (1+cosθ)를 곱해야 합니다. 분모에만 곱하고 분자를 1로 남겨 두면 식이 전혀 다른 값이 됩니다.
- 1sinθ tanθ를 정리할 때 sinθcosθ로 나누는 것은 cosθsinθ를 곱하는 것과 같습니다. 분모의 분수를 뒤집는 과정에서 cosθ가 분모로 가는 실수가 자주 나오니 한 줄씩 적어서 확인하세요.
- tan2θ=54에서 멈추면 부호를 정할 수 없습니다. 제곱을 벗길 때는 항상 θ의 범위를 다시 보고 부호를 결정하는 습관을 들이세요.
- 선택지에 √52와 −√52가 함께 있는 것은 부호 판단을 빠뜨린 학생을 걸러내기 위한 것입니다. 제4사분면에서는 cos만 양수이고 sin과 tan은 음수라는 점을 기억하세요.
엄선된 풀이 영상
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“수능특강 수학Ⅰ 삼각함수 Level 1 7번”에 대한 1개의 생각