기초 필수
삼각함수의 성질(각 변환)
곱셈공식의 변형
출제의도
이 문항은 두 단계로 이루어져 있습니다. 먼저 삼각함수의 성질을 이용해 복잡한 각을 θ에 대한 식으로 바꾸어 sin θ cos θ의 값을 끌어내고, 그다음 sin θ+cos θ의 값을 구해 세제곱의 합을 곱셈공식의 변형으로 계산합니다.
가장 중요한 부분은 부호 판단입니다. 제곱해서 구한 (sin θ+cos θ)2에서 제곱근을 취할 때 +와 − 중 어느 쪽인지를 sin θ<0이라는 조건으로 결정해야 합니다. 선택지에 부호만 다른 값이 짝지어 있는 것도 바로 이 판단을 확인하기 위해서입니다.
단계별 힌트
sin(32π−θ), sin(π+θ)처럼 각이 복잡한 삼각함수는 먼저 θ에 대한 삼각함수로 바꿔야 합니다. π2의 홀수배가 붙어 있으면 sin은 cos으로 바뀌고, π처럼 π2의 짝수배가 붙어 있으면 sin은 그대로 sin입니다.
부호는 θ를 예각이라고 생각했을 때 원래 각이 몇 사분면에 있는지를 보고, 그 사분면에서 원래 함수(sin)의 부호를 붙이면 됩니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
두 식을 바꿔 곱하면 sin θ cos θ에 대한 식이 나옵니다. 이 값을 알면 sin2θ+cos2θ=1을 이용해 (sin θ+cos θ)2을 바로 계산할 수 있습니다.
(sin θ+cos θ)2의 제곱근을 구할 때는 부호를 결정해야 합니다. sin θ<0이고 sin θ cos θ가 양수라면 cos θ의 부호는 무엇일지, 그러면 두 수의 합은 양수인지 음수인지 따져 보세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
세제곱의 합은 곱셈공식의 변형 a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)로 계산합니다. a=sin θ, b=cos θ로 놓고, 앞에서 구한 합과 곱을 대입하세요. 음수의 세제곱과 음수끼리의 곱에서 부호를 한 번 더 확인하면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ −3√68
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A각을 변환해 sin θ cos θ의 값 구하기
sin(32π−θ)=−cos θ, sin(π+θ)=−sin θ이므로 두 식의 곱은 (−cos θ)×(−sin θ)=sin θ cos θ입니다. 따라서 sin θ cos θ=14입니다.
STEP B부호를 판단해 sin θ+cos θ의 값 구하기
sin θ<0이고 sin θ cos θ>0이므로 cos θ<0이고, 따라서 sin θ+cos θ<0입니다. (sin θ+cos θ)2=1+2×14=32이므로 sin θ+cos θ=−√62입니다.
STEP C곱셈공식의 변형으로 세제곱의 합 계산하기
sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)3−3 sin θ cos θ(sin θ+cos θ)=(−3√64)+3√68=−3√68입니다. 따라서 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 인수분해 꼴로 세제곱 계산 없애기
세제곱의 합은 a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)으로도 쓸 수 있습니다. 여기에 a=sin θ, b=cos θ를 넣으면 괄호 안의 sin2θ+cos2θ가 1이 되므로 sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(1−sin θ cos θ)로 정리됩니다.
값을 대입하면 (−√62)×(1−14)=(−√62)×34=−3√68입니다. (−√62)3 같은 무리수의 세제곱을 계산할 필요가 없어 부호 실수와 계산 실수가 동시에 줄어듭니다. 삼각함수에서 세제곱의 합이나 차가 나오면 이 인수분해 꼴을 먼저 떠올리세요.
실수를 줄이는 전략
- sin(32π−θ)의 부호를 틀리기 쉽습니다. θ가 예각이면 32π−θ는 제3사분면의 각이고, 제3사분면에서 sin은 음수이므로 −cos θ입니다.
- sin θ+cos θ의 부호를 +로 잡으면 최종 답이 3√68이 되어 ④를 고르게 됩니다. 제곱근을 취할 때는 항상 조건에서 부호를 확인하세요.
- 곱셈공식을 대입할 때 −3×14×(−√62)은 음수끼리의 곱이므로 양수입니다. 이 항까지 음수로 계산하면 −9√68이 되어 ①을 고르게 됩니다.
- (sin θ+cos θ)3만 계산하고 멈추면 −3√64로 ②가 됩니다. 곱셈공식의 뒤쪽 항 −3ab(a+b)까지 반드시 계산하세요.
엄선된 풀이 영상
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