수능특강 수학Ⅰ 지수함수와 로그함수 Level 2 3번

03
기본 필수

02 지수함수와 로그함수
치환으로 이차방정식 만들기
2^x>0 조건 활용

출제의도

이 문항은 4^x과 2^x이 함께 있는 지수방정식을 보고 “4^x=(2^x)²이니 2^x을 한 문자로 바꾸면 이차방정식이 된다”는 것을 떠올릴 수 있는지 확인합니다. 치환한 뒤 인수분해가 깔끔하게 되도록 상수항이 설계되어 있어서, 계산보다는 ‘조건을 어떻게 해석하느냐’가 승부처입니다.

핵심은 치환한 문자 t=2^x이 반드시 양수라는 점입니다. 이차방정식의 근이 두 개 나오더라도 양수인 근만 실제 x를 만들어 내므로, “실근이 한 개”라는 조건은 “t에 대한 이차방정식의 양수 근이 한 개”로 바꿔 읽어야 합니다. 이 번역 과정은 지수·로그 방정식의 근의 개수를 묻는 문항 전반에서 반복됩니다.

단계별 힌트

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.

힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

4는 2²이므로 4^x=(2²)^x=(2^x)²입니다. 그러면 식에 남는 것은 2^x의 제곱, 2^x, 상수항뿐이므로 2^x=t로 바꾸면 t에 대한 이차방정식이 됩니다.

이때 꼭 함께 적어 둘 것이 있습니다. 2^x은 x에 어떤 실수를 넣어도 항상 0보다 큽니다. 따라서 t>0이라는 조건이 붙습니다. 이 조건이 문제 전체의 열쇠입니다.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

치환한 이차방정식은 t²−2(a−2)t+a(a−4)=0입니다. 상수항 a²−4a를 a(a−4)로 묶어 보세요. 곱해서 a(a−4), 더해서 2(a−2)=a+(a−4)가 되는 두 수는 a와 a−4이므로 (t−a)(t−(a−4))=0으로 인수분해됩니다.

즉 t=a 또는 t=a−4입니다. 그리고 t=2^x에서 t가 양수이면 x가 딱 하나 정해지고, t가 0 이하이면 x가 존재하지 않는다는 점을 기억하세요.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

두 근 a와 a−4 중 어느 쪽이 더 큰지는 항상 정해져 있습니다. 실근이 한 개가 되려면 두 근 중 큰 쪽만 양수이고, 작은 쪽은 0 이하여야 합니다. 이 두 조건을 부등식으로 쓰고, 경계값에서 등호가 들어가는지 하나씩 대입해 확인한 뒤 정수 a를 모두 더해 보세요.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 ③ 10

상세 해설

수능특강 수학Ⅰ 지수함수와 로그함수 Level 2 3번 상세 해설

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A2^x=t로 치환해 이차방정식으로 바꾸기

4^x=(2^x)²이므로 2^x=t (t>0)로 두면 t²−2(a−2)t+a(a−4)=0입니다. 지수방정식이 익숙한 이차방정식으로 바뀌고, 대신 t>0이라는 조건이 새로 생깁니다.

STEP B인수분해로 두 근 구하기

(t−a){t−(a−4)}=0이므로 t=a 또는 t=a−4, 즉 2^x=a 또는 2^x=a−4입니다. 두 근의 차는 항상 4이므로 두 근이 같아지는 경우(중근)는 없고, 언제나 a−4<a입니다.

STEP C양수 근이 하나일 조건 세우기

x가 하나만 존재하려면 큰 근 a는 양수, 작은 근 a−4는 0 이하여야 하므로 a>0이고 a−4≤0, 즉 0<a≤4입니다. 정수 a는 1, 2, 3, 4이고 그 합은 1+2+3+4=10이므로 정답은 ③입니다.

1등급 다른 풀이 · 그래프로 근의 개수 세기

2^x=a 또는 2^x=a−4라는 결과를 그래프로 읽으면 조건이 한눈에 보입니다. 곡선 y=2^x은 x축 위쪽 전체(치역이 양수 전체)를 지나므로, 수평선 y=k와는 k>0일 때 정확히 한 번 만나고 k≤0일 때는 만나지 않습니다.

따라서 두 수평선 y=a와 y=a−4 중 딱 하나만 x축보다 위에 있어야 합니다. 두 수평선은 간격이 4로 고정된 채 위아래로 함께 움직이므로, 위쪽 선 y=a는 x축 위에, 아래쪽 선 y=a−4는 x축 또는 그 아래에 놓이는 범위 0<a≤4를 바로 얻습니다. 인수분해가 되지 않는 문항이라면 f(t)=t²−2(a−2)t+a(a−4)로 두고 f(0)<0(양수 근 하나, 음수 근 하나)을 먼저 따진 뒤 f(0)=0인 경계를 따로 확인하는 ‘근의 분리’ 방법을 쓰면 됩니다.

실수를 줄이는 전략

치환하는 순간 t>0을 바로 옆에 적으세요. 이 조건을 빠뜨리면 t에 대한 이차방정식이 근을 몇 개 갖는지만 따지게 되어 문제의 조건을 전혀 쓰지 못합니다.
a=4일 때는 t=4, t=0이 나옵니다. t=0은 2^x=0이 되어 x가 없지만 t=4에서 x가 하나 생기므로 조건을 만족합니다. 경계값 4를 빼서 1+2+3=6(①)을 고르는 실수가 가장 흔합니다.
반대로 a=0이면 t=0, t=−4가 되어 실근이 하나도 없습니다. a−4≤0만 보고 0 이하의 정수까지 포함하지 않도록 a>0 조건을 함께 확인하세요.
묻는 것은 정수 a의 개수가 아니라 합입니다. 조건을 만족하는 a가 4개라고 해서 마지막 덧셈을 건너뛰지 마세요.

엄선된 풀이 영상

위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.

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