수능특강 수학Ⅰ 지수함수와 로그함수 Level 2 2번

02
빈출 유형

02 지수함수와 로그함수
지수함수 그래프의 평행이동
사다리꼴 넓이와 기울기

출제의도

이 문항은 평행이동 관계에 있는 두 곡선 y=2^x, y=2^x−2 사이에서 점들의 좌표를 하나의 문자로 나타낼 수 있는지를 확인합니다. 점 A의 x좌표를 a로 두면 B, C, D의 좌표가 차례로 a에 대한 식으로 정해지고, 사각형의 넓이 조건 하나로 a가 결정됩니다.

핵심은 두 곡선이 x축 방향으로 정확히 2만큼 떨어져 있다는 사실입니다. 그래서 가로 방향 거리 BC는 점의 위치와 상관없이 항상 2이고, 사각형 ACDB는 세로 변 AB와 CD가 평행한 사다리꼴이 됩니다. 지수함수 그래프 위의 도형 문제에서 반복적으로 쓰이는 틀이므로 이 흐름을 꼭 익혀 두세요.

단계별 힌트

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.

힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

점이 네 개나 나와서 복잡해 보이지만, 출발점은 하나입니다. 점 A의 x좌표를 a라 하면 A는 곡선 y=2^x−2 위에 있으므로 A(a, 2^a−2)입니다.

점 B는 A를 지나고 x축에 수직인 직선 위에 있으므로 A와 x좌표가 같습니다. B가 곡선 y=2^x 위에 있다는 것까지 이용해 B의 좌표를 a로 써 보세요.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

점 C는 B를 지나고 x축에 평행한 직선 위에 있으므로 B와 y좌표가 같습니다. C의 x좌표를 b라 하면 2^b−2=2^a이고, 밑이 같으므로 지수끼리 같다고 놓으면 b를 a로 나타낼 수 있습니다.

그러면 선분 BC의 길이는 b−a로, a가 무엇이든 항상 일정한 값이 나옵니다. y=2^x−2는 y=2^x를 x축 방향으로 2만큼 옮긴 그래프라는 점을 떠올리면 그 값이 왜 나오는지 이해할 수 있습니다.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

AB와 CD는 둘 다 x축에 수직이므로 서로 평행하고, 사각형 ACDB는 높이가 BC인 사다리꼴입니다. 넓이는 12×(AB+CD)×BC입니다.

AB=2^a−2^a−2, CD=2^a+2−2^a을 모두 ‘(숫자)×2^a‘ 꼴로 바꾸어 넓이를 정리해 보세요. 2^a−2=14×2^a, 2^a+2=4×2^a임을 이용하면 됩니다. 2^a의 값을 구한 뒤 A와 D의 좌표로 기울기를 계산하세요.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 ④ 154

상세 해설

수능특강 수학Ⅰ 지수함수와 로그함수 Level 2 2번 상세 해설 1

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A네 점의 좌표를 문자 a 하나로 나타내기

A(a, 2^a−2), B(a, 2^a)입니다. C의 x좌표를 b라 하면 B와 y좌표가 같으므로 2^b−2=2^a, 즉 b=a+2입니다. 따라서 C(a+2, 2^a), D(a+2, 2^a+2)이고 BC=2입니다.

STEP B사다리꼴 넓이로 2^a 구하기

AB=2^a−2^a−2=34×2^a, CD=2^a+2−2^a=3×2^a입니다. 넓이는 12×(34×2^a+3×2^a)×2=154×2^a이고, 이 값이 152이므로 2^a=2, a=1입니다.

STEP CA와 D의 좌표로 기울기 계산하기

a=1이므로 A(1, 12), D(3, 8)입니다. 직선 AD의 기울기는 (8−12)÷(3−1)=154이고 정답은 ④입니다.

1등급 다른 풀이 · a를 구하지 않고 넓이에서 바로 기울기 얻기

B와 C의 y좌표가 같으므로, A에서 D까지 올라가는 높이는 A에서 B까지(AB)와 C에서 D까지(CD)를 더한 것과 같습니다. 즉 (D의 y좌표)−(A의 y좌표)=AB+CD이고, A에서 D까지 가로 거리는 BC=2입니다. 따라서 직선 AD의 기울기는 AB+CD2입니다.

한편 사다리꼴의 높이도 2이므로 넓이는 12×(AB+CD)×2=AB+CD입니다. 결국 기울기는 넓이의 절반이므로 152÷2=154로 바로 끝납니다. 좌표를 구하기 전에 ‘구하는 값과 주어진 값 사이의 관계’를 먼저 살피면 계산을 크게 줄일 수 있다는 것을 보여 주는 풀이입니다.

실수를 줄이는 전략

사각형 ACDB를 직사각형으로 착각하지 마세요. AB와 CD는 평행하지만 길이가 다르므로 사다리꼴 넓이 공식을 써야 합니다.
2^a+2를 2^a+2나 2^a×2로 계산하는 실수가 자주 나옵니다. 지수의 덧셈은 곱셈으로 쪼개지므로 2^a+2=2^a×2²=4×2^a입니다.
넓이 조건에서 a=1까지 구했다고 끝내지 말고, 문제에서 묻는 것이 직선 AD의 기울기라는 점을 다시 확인하세요. 점 A는 곡선 y=2^x−2 위, 점 D는 곡선 y=2^x 위의 점이라는 것도 좌표를 넣기 전에 점검하세요.
좌표를 구할 때마다 해당 점이 어느 곡선 위에 있는지 그림에 표시해 두면, A와 B, C와 D의 y좌표를 서로 바꿔 쓰는 실수를 막을 수 있습니다.

엄선된 풀이 영상

위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.

수능특강 수학Ⅰ 메인포스트에서 전체 문항 보기