기초 필수
로그함수의 최대·최소
밑이 1보다 작은 로그함수
출제의도
이 문항은 로그함수의 최댓값과 최솟값을 구할 때 가장 먼저 “밑이 1보다 큰가, 작은가?”를 확인하는 습관이 있는지를 묻습니다. 밑이 1보다 작으면 x가 커질수록 함숫값이 작아지므로, 정의역의 양 끝 중 어느 쪽에서 최댓값이 나오는지가 뒤바뀝니다.
로그함수는 정의역이 닫힌 구간일 때 항상 양 끝에서 최댓값과 최솟값을 가집니다. 따라서 이 문항의 핵심은 계산이 아니라 증가·감소를 판단해 M과 m을 올바르게 짝짓는 것이며, 이 판단은 앞으로 나올 지수·로그함수의 최대·최소 문항 전체의 출발점이 됩니다.
단계별 힌트
로그함수 y=logax는 밑 a에 따라 그래프의 모양이 달라집니다. a>1이면 x가 커질수록 y도 커지는 증가함수이고, 0<a<1이면 x가 커질수록 y가 작아지는 감소함수입니다.
주어진 함수의 밑은 1/3입니다. 1/3은 1보다 큰지 작은지부터 확인하고, 그 결과 f(x)가 증가함수인지 감소함수인지 정해 보세요. 앞에 곱해진 2는 양수이므로 증가·감소 방향을 바꾸지 않습니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
감소함수는 정의역에서 x가 가장 작을 때 함숫값이 가장 크고, x가 가장 클 때 함숫값이 가장 작습니다. 정의역이 −2≤x≤4이므로 최댓값 M은 x=−2에서, 최솟값 m은 x=4에서 나옵니다.
함숫값을 계산할 때는 1/3=3−1로 바꾸면 편합니다. log1/33은 “1/3을 몇 제곱해야 3이 되는가?”를 묻는 값이고, (1/3)−1=3이므로 그 답은 −1입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
f(−2)=2log1/33, f(4)=2log1/39를 각각 계산해 보세요. 9=32이므로 log1/39는 log1/33의 2배입니다. 두 값을 구한 뒤 M−m을 계산할 때 음수끼리의 뺄셈에서 부호를 조심하면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A밑을 보고 증가·감소 판단하기
f(x)=2log1/3(x+5)의 밑은 1/3이고 0<1/3<1이므로 f(x)는 x가 커질수록 값이 작아지는 감소함수입니다. 따라서 정의역 −2≤x≤4에서 x=−2일 때 최댓값, x=4일 때 최솟값을 가집니다.
STEP B양 끝의 함숫값 계산하기
M=f(−2)=2log1/33=2log3−13=2×(−1)=−2이고, m=f(4)=2log1/39=2log3−132=2×(−2)=−4입니다.
STEP CM−m 구하기
M−m=−2−(−4)=2이므로 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 로그의 뺄셈을 나눗셈으로 바꾸기
최댓값과 최솟값을 따로 구하지 않고 차이만 바로 계산할 수도 있습니다. 로그의 성질 logaM−logaN=loga(M/N)을 쓰면 M−m=2log1/33−2log1/39=2log1/3(3/9)=2log1/3(1/3)=2×1=2입니다.
이 방법에서도 x=−2가 최댓값, x=4가 최솟값이라는 판단은 반드시 먼저 해야 합니다. 판단만 정확하면 복잡한 로그값을 하나하나 계산하지 않고 한 줄로 끝낼 수 있어, 함숫값이 깔끔하게 떨어지지 않는 문항에서 특히 유리합니다.
실수를 줄이는 전략
- 로그함수의 최대·최소 문항은 밑부터 보세요. 습관적으로 “x가 클수록 값도 크다”고 생각해 x=4에서 최댓값을 잡으면 M=−4, m=−2가 되어 M−m=−2라는, 선택지에 없는 값이 나옵니다.
- 앞에 곱해진 계수 2를 빠뜨리는 실수가 많습니다. 2를 빼고 계산하면 M−m=1이 되어 선택지 ①을 고르게 되므로, 계수가 붙어 있으면 마지막까지 함께 들고 가세요.
- log1/33을 1로 착각하지 마세요. 밑과 진수가 역수 관계이면 로그값은 −1입니다. 1/3=3−1로 바꾸어 확인하면 부호 실수를 막을 수 있습니다.
- 진수 x+5는 정의역 전체에서 3부터 9까지의 양수이므로 진수 조건은 자동으로 만족합니다. 다만 다른 문항에서는 진수가 0 이하가 되는 구간이 없는지 항상 먼저 점검하세요.
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