기초 필수
지수함수의 역함수
역함수의 점근선
출제의도
이 문항은 역함수의 그래프가 원래 함수의 그래프와 직선 y=x에 대하여 대칭이라는 사실을 활용할 수 있는지를 확인합니다. 역함수 g(x)의 그래프가 점 (4, 3)을 지난다는 조건은 곧 원래 함수 f(x)의 그래프가 점 (3, 4)를 지난다는 뜻이고, 이것으로 상수 a를 구할 수 있습니다.
또 지수함수의 역함수가 로그함수이며, 가로 점근선 y=3이 역함수에서는 세로 점근선 x=3으로 바뀐다는 점을 이해하고 있는지도 함께 묻습니다. 지수함수와 로그함수를 하나로 연결해 보는 기본 문항입니다.
단계별 힌트
g(x)가 f(x)의 역함수이면 두 함수는 x와 y의 역할을 서로 바꾼 관계입니다. 따라서 “g의 그래프가 점 (4, 3)을 지난다”는 말은 “f의 그래프가 점 (3, 4)를 지난다”, 즉 f(3)=4와 같은 뜻입니다.
역함수의 식을 직접 구하기 전에, 이 관계만으로 a를 먼저 구할 수 있는지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f(3)=23+a+3=4에서 23+a=1입니다. 1을 2의 거듭제곱으로 나타내면 20이므로 지수끼리 비교할 수 있습니다.
점근선은 역함수 관계에서 이렇게 바뀝니다. y=f(x)의 그래프의 점근선이 가로선 y=p이면, y=x에 대하여 대칭인 y=g(x)의 그래프의 점근선은 세로선 x=p입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
a를 구해 f(x)를 완성한 뒤, y=2x−3+3을 x에 대하여 풀고 x와 y를 바꾸면 g(x)의 식이 나옵니다. 로그의 진수가 0이 되는 x의 값이 점근선 x=b입니다. 마지막으로 ab를 계산하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ −9
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A역함수 관계로 a 구하기
함수 y=g(x)의 그래프가 점 (4, 3)을 지나므로 g(4)=3, 즉 f(3)=4입니다. 23+a+3=4에서 23+a=1=20이므로 3+a=0, a=−3입니다.
STEP B역함수 g(x)를 구해 점근선 찾기
y=2x−3+3에서 y−3=2x−3이므로 x−3=log2(y−3), x=log2(y−3)+3입니다. x와 y를 서로 바꾸면 g(x)=log2(x−3)+3이고, 이 곡선의 점근선은 직선 x=3이므로 b=3입니다.
STEP Cab의 값 계산하기
a=−3, b=3이므로 ab=−9이고 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 역함수를 구하지 않고 대칭으로 점근선 찾기
b를 구하기 위해 역함수의 식을 끝까지 구할 필요는 없습니다. f(x)=2x+a+3의 그래프의 점근선은 a의 값과 관계없이 항상 직선 y=3입니다. 역함수의 그래프는 이것을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 것이므로, 점근선도 y=3을 대칭이동한 직선 x=3이 됩니다. 따라서 문항을 읽자마자 b=3을 알 수 있습니다.
a 역시 f(3)=4 한 줄로 구했으므로, 이 문항은 역함수의 식을 한 번도 쓰지 않고 풀 수 있습니다. 역함수 문항에서는 “점은 좌표를 바꾸고, 점근선은 가로와 세로를 바꾼다”는 대칭 관계를 먼저 떠올리면 계산이 크게 줄어듭니다.
실수를 줄이는 전략
- g(4)=3을 f(4)=3으로 잘못 옮기면 24+a=0이 되어 식이 성립하지 않습니다. 이런 모순이 보이면 역함수의 x, y를 바꾸었는지 다시 점검하세요.
- 23+a=1에서 3+a=1로 쓰는 실수가 자주 나옵니다. 1=20이므로 지수는 0이어야 합니다.
- 원래 함수의 점근선 y=3을 그대로 가져와 답을 고르면 안 됩니다. 역함수에서는 가로 점근선이 세로 점근선 x=3으로 바뀌며, 문항에서 b는 x=b의 b입니다.
- a가 음수이므로 ab의 부호를 마지막에 한 번 더 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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