기본 핵심
로그의 성질
log 2로 좌표 정리하기
출제의도
이 문항은 좌표에 로그가 들어가 있어도 겁먹지 않고, 모든 값을 하나의 기준값으로 정리할 수 있는지를 확인합니다. 8, 4, 14은 모두 2의 거듭제곱이므로 두 점의 좌표는 전부 log 2의 몇 배로 바뀌고, 그 순간 문제는 평범한 ‘직선의 방정식과 삼각형 넓이’ 문제가 됩니다.
로그 단원과 중학교 좌표평면 내용이 결합된 형태로, 로그 계산 자체보다 절편의 부호와 넓이 계산에서 실수가 많이 나옵니다. 기울기를 구할 때 log 2가 약분되어 정수가 되는 흐름을 직접 경험해 보는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
두 점의 좌표 네 개가 모두 로그로 되어 있어 복잡해 보이지만, 진수 8, 2, 4, 14은 모두 2의 거듭제곱입니다.
log an=n log a를 이용해 각 좌표가 log 2의 몇 배인지 먼저 바꿔 적어 보세요. 특히 14=2−2이므로 부호에 주의해야 합니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
두 점을 지나는 직선의 기울기는 (y의 증가량)÷(x의 증가량)입니다. 좌표를 log 2의 배수로 바꿔 두었다면, 분자와 분모에 모두 log 2가 들어 있어 약분됩니다.
직선과 x축, y축으로 둘러싸인 부분은 직각삼각형이므로, x절편(y=0일 때의 x)과 y절편(x=0일 때의 y)만 알면 넓이를 구할 수 있습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
기울기는 정수로 깔끔하게 나옵니다. 점 A를 지나는 직선의 방정식을 세운 뒤 x=0, y=0을 각각 대입해 두 절편을 구하세요. y절편이 음수로 나오면 삼각형의 변의 길이는 그 절댓값이라는 점을 기억하고, 12×(밑변)×(높이)로 마무리하면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ⑤ 323(log 2)2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A좌표를 log 2의 배수로 바꾸기
log 8=3 log 2, log 4=2 log 2, log 14=−2 log 2이므로 두 점은 A(3 log 2, log 2), B(2 log 2, −2 log 2)로 바꿔 쓸 수 있습니다.
STEP B기울기와 직선의 방정식 구하기
기울기는 −2 log 2−log 22 log 2−3 log 2=−3 log 2−log 2=3입니다. 점 A를 지나므로 y=3(x−3 log 2)+log 2, 즉 y=3x−8 log 2입니다.
STEP C절편을 구해 삼각형 넓이 계산하기
y=0을 대입하면 x절편은 83 log 2, x=0을 대입하면 y절편은 −8 log 2입니다. 넓이는 12×83 log 2×8 log 2=323(log 2)2이므로 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · log 2를 떼어 내고 넓이만 t2배 하기
log 2=t로 놓으면 두 점은 A(3t, t), B(2t, −2t)입니다. 모든 좌표가 점 (3, 1), (2, −2)를 t배 한 것이므로, 그림 전체가 가로와 세로로 모두 t배 확대된 것과 같습니다. 이때 넓이는 t2배가 됩니다.
점 (3, 1), (2, −2)를 지나는 직선은 y=3x−8이고, x절편 83, y절편 −8이므로 넓이는 12×83×8=323입니다. 여기에 t2=(log 2)2을 곱하면 끝입니다. 좌표가 모두 같은 값의 배수일 때는 이렇게 ‘정수 좌표로 풀고 마지막에 배율만 곱하는’ 방법이 계산 실수를 크게 줄여 줍니다.
실수를 줄이는 전략
- log 14은 −2 log 2입니다. 부호를 빠뜨려 2 log 2로 쓰면 기울기부터 달라지므로, 진수가 1보다 작으면 로그 값이 음수라는 점을 먼저 확인하세요.
- 기울기를 구할 때 분자와 분모의 순서를 같은 점 기준으로 맞추세요. 분자는 B−A, 분모는 A−B로 섞어 쓰면 기울기가 −3으로 뒤집힙니다.
- y절편 −8 log 2는 좌표값이고, 삼각형의 높이는 그 절댓값인 8 log 2입니다. 넓이가 음수로 나오면 이 부분을 다시 확인하세요.
- 선택지가 모두 (log 2)2의 배수로 되어 있으므로, log 2가 두 번 곱해진다는 점만 확인하면 됩니다. 결국 승부는 계수 323을 정확히 구하는 데 있습니다.
엄선된 풀이 영상
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