기본 핵심
로그의 밑 변환
log52 하나로 통일하기
출제의도
이 문항은 밑이 서로 다른 로그가 섞여 있을 때, 밑을 하나로 맞춘 뒤 모든 항을 ‘같은 재료’로 표현할 수 있는지를 확인합니다. 분모의 log505를 뒤집어 밑을 5로 바꾸고, 10과 50을 2와 5의 곱으로 쪼개면 식 전체가 log52 하나로 정리됩니다.
겉보기에는 제곱과 분수가 섞여 복잡하지만, 정리하고 나면 복잡한 항이 모두 지워지고 깔끔한 정수만 남는 구조입니다. 이렇게 ‘한 문자로 치환해서 소거하기’는 로그 계산 문항에서 가장 자주 쓰이는 전략이므로 이 문항으로 확실히 익혀 두면 좋습니다.
단계별 힌트
식에 밑이 5인 로그와 밑이 50인 로그가 함께 있습니다. 밑이 다르면 로그끼리 계산할 수 없으므로, 가장 먼저 할 일은 밑을 하나로 맞추는 것입니다.
밑과 진수의 자리를 바꾸면 역수가 된다는 성질 logab=1logba를 떠올려 보세요. 분모에 있는 로그를 이 성질로 바꾸면 나눗셈이 곱셈으로 바뀝니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
밑을 5로 맞춘 뒤에는 진수를 2와 5의 곱으로 쪼갭니다. 10=2×5, 50=2×52이므로 loga(xy)=logax+logay를 쓰면 log510=log52+1, log550=log52+2가 됩니다.
이제 식에 등장하는 로그가 모두 log52 하나로 표현됩니다. log55=1이라는 점을 놓치지 마세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
log52=a로 놓으면 식은 (a+1)2−a(a+2)의 꼴이 됩니다. 두 부분을 각각 전개해서 빼 보세요. a2항과 a항이 어떻게 되는지, 마지막에 무엇이 남는지 직접 확인하면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 1
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A밑을 5로 통일해 나눗셈을 곱셈으로 바꾸기
log505=1log550이므로 log52를 log505로 나누는 것은 log550을 곱하는 것과 같습니다. 따라서 주어진 식은 (log510)2−log52×log550이 됩니다.
STEP B모든 항을 log52로 표현하기
10=2×5, 50=2×52이므로 log510=log52+1, log550=log52+2입니다. 이제 식에는 log52 하나만 남습니다.
STEP C전개해서 소거하기
(log52+1)2−log52×(log52+2)를 전개하면 (log52)2+2log52+1−(log52)2−2log52가 되어 로그가 들어 있는 항은 모두 지워지고 1만 남습니다. 따라서 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 연속한 세 수의 구조로 한 번에 보기
log52, log510, log550은 진수에 5를 한 번씩 더 곱한 것이므로 값이 정확히 1씩 커집니다. 가운데 값인 log510을 n으로 놓으면 log52=n−1, log550=n+1입니다.
그러면 식은 n2−(n−1)(n+1)이 되고, 합차 공식에 의해 (n−1)(n+1)=n2−1이므로 값은 바로 1입니다. 밑 변환 후 진수들이 ‘밑의 거듭제곱만큼 차이 나는지’ 살펴보는 습관을 들이면, 이런 유형은 전개 없이 암산으로 끝낼 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- log505로 나누는 것은 log550을 곱하는 것입니다. 분수의 나눗셈처럼 역수를 곱한다는 점을 식으로 먼저 적어 두면 부호나 위치를 헷갈리지 않습니다.
- 50=2×52이므로 log550=log52+2입니다. 50을 5×10으로 보고 +1만 붙이는 실수가 자주 나오니, 진수는 소인수분해로 끝까지 쪼개세요.
- (a+1)2을 a2+1로 전개하는 실수를 조심하세요. 가운데 항 2a가 있어야 뒤의 −2a와 소거됩니다.
- 빼는 식 전체에 괄호를 씌운 뒤 전개하세요. −a(a+2)를 −a2+2a로 쓰면 답이 1이 아니라 4log52+1처럼 엉뚱하게 나옵니다.
엄선된 풀이 영상
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