기초 필수
실수 지수의 지수법칙
세제곱수 찾기
출제의도
이 문항은 지수에 √2−1, √2+1 같은 무리수가 들어 있어도 지수법칙이 그대로 성립한다는 것을 알고, 거듭제곱근과 거듭제곱을 하나의 지수로 합칠 수 있는지를 확인합니다.
복잡해 보이는 지수는 합차공식 (√2−1)(√2+1)=1 덕분에 한 번에 정리되고, 결국 n1/3이 자연수가 되는 조건, 즉 n이 세제곱수인 조건을 찾는 문제로 바뀝니다. 식을 정리하는 계산력과 조건을 해석하는 힘을 함께 묻는 문항입니다.
단계별 힌트
세제곱근과 거듭제곱이 겹쳐 있으면 한눈에 정리하기 어렵습니다. 먼저 세제곱근을 지수로 바꾸세요. 3√a=a1/3이라는 규칙을 쓰면 식 전체가 “n의 몇 제곱” 꼴로 바뀔 수 있습니다.
n은 자연수이므로 밑이 양수입니다. 따라서 지수가 무리수여도 지수법칙을 자유롭게 쓸 수 있습니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
지수법칙 (ap)q=apq를 쓰면 괄호 밖의 지수 √2+1을 안쪽 지수에 곱할 수 있습니다.
이때 지수끼리의 곱에 (√2−1)(√2+1)이 나타나는데, 중학교에서 배운 합차공식 (a−b)(a+b)=a2−b2을 쓰면 아주 간단한 수로 바뀝니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
식이 n1/3으로 정리되면, 이 값이 자연수가 되려면 n이 어떤 자연수의 세제곱이어야 합니다. 13, 23, 33, … 을 차례로 계산하며 100을 넘지 않는 것만 골라 더해 보세요. 1도 13이라는 점을 잊지 마세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 100
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A거듭제곱근을 지수로 바꾸고 지수법칙으로 합치기
3√n√2−1=n(√2−1)/3이므로, 이 값을 √2+1 제곱하면 지수는 (√2−1)(√2+1)3이 됩니다.
STEP B합차공식으로 지수 정리하기
(√2−1)(√2+1)=2−1=1이므로 주어진 식은 n1/3, 즉 3√n으로 정리됩니다.
STEP C자연수가 되는 조건으로 n 찾기
n1/3이 자연수이려면 n은 자연수의 세제곱이어야 합니다. 100 이하에서는 1, 8, 27, 64뿐이고(53=125는 100 초과), 그 합은 1+8+27+64=100입니다.
1등급 다른 풀이 · 세제곱수의 합 공식으로 한 번에 계산하기
n의 값이 13, 23, 33, 43이라는 것을 찾았다면, 하나씩 더하는 대신 자연수의 세제곱의 합 공식 13+23+…+k3=(1+2+…+k)2을 쓸 수 있습니다.
k=4일 때 (1+2+3+4)2=102=100이므로 곧바로 답이 나옵니다. 이 공식은 수학Ⅰ 뒷부분 수열의 합 단원에서 정식으로 배우는데, 범위가 커져서 세제곱수가 많아지는 변형 문항에서 특히 유용합니다.
실수를 줄이는 전략
- n=1을 빠뜨리는 실수가 가장 흔합니다. 1=13이고 11/3=1은 자연수이므로 반드시 포함해야 합니다.
- 세제곱수를 나열할 때 경계를 확인하세요. 43=64는 포함되지만 53=125는 100을 넘으므로 제외됩니다.
- 지수를 곱할 때 분모 3을 빠뜨리면 식이 n1=n이 되어 모든 자연수가 조건을 만족하는 것처럼 보입니다. 세제곱근이 지수 1/3로 바뀐다는 점을 첫 줄에서 분명히 적어 두세요.
- 문제에서 묻는 것이 n의 개수인지, n의 값의 합인지 마지막에 다시 확인하세요. 개수는 4, 합은 100입니다.
엄선된 풀이 영상
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“수능특강 수학Ⅰ 지수와 로그 Level 1 5번”에 대한 1개의 생각