쎈 공통수학1 635번 📐 판별식 + 근과 계수의 관계로 최솟값 구하기
유형문제 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수의 최대·최소
- 🎬 D>0에서 a>-1 → (α+1)(β+1)을 a의 이차함수로 변환 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 D/4=(a+3)²-(a²-a+2)>0 전개 후 a>-1 도출 과정
- 💡 (α+1)(β+1)=αβ+(α+β)+1로 전개하는 핵심 공식
- ⚠️ D>0 조건으로 a의 범위를 반드시 먼저 구해야 하는 이유
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
🌟 핵심 공식: \((\alpha+1)(\beta+1)=\alpha\beta+(\alpha+\beta)+1\)
이 전개가 핵심입니다. 근과 계수의 관계로 α+β, αβ를 표현하세요! 📱 충전기 연결 후 도전!
3단계 풀이 흐름:
① D>0 → a의 범위 → ② 근과 계수로 α+β, αβ 표현 → ③ (α+1)(β+1)을 a의 이차함수로 변환
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
이차방정식 \(x^2-2(a+3)x+a^2-a+2=0\)이 서로 다른 두 실근 α, β를 가질 때,
\((\alpha+1)(\beta+1)\)의 최솟값을 구합니다.
\(\alpha+\beta=2(a+3)\)
\(\alpha\beta=a^2-a+2\)
\((\alpha+1)(\beta+1)\)
\(=\alpha\beta+(\alpha+\beta)+1\)
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. D/4=(a+3)²-(a²-a+2)를 전개해 D>0인 조건 구하기: 7a+7>0 → a>-1
힌트 2. \((\alpha+1)(\beta+1)=a^2-a+2+2(a+3)+1=a^2+a+9\)
힌트 3. \(=(a+\frac{1}{2})^2+\frac{35}{4}\). a>-1에서 꼭짓점 a=-1/2가 범위 안 → 최솟값?
🧠 핵심 풀이
\(\dfrac{D}{4}=(a+3)^2-(a^2-a+2)=a^2+6a+9-a^2+a-2=7a+7>0\)
\(a > -1\)
\((\alpha+1)(\beta+1)=\alpha\beta+(\alpha+\beta)+1\)
\(=(a^2-a+2)+2(a+3)+1\)
\(=a^2-a+2+2a+6+1=a^2+a+9\)
\(=\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{35}{4}\)
꼭짓점 a=-1/2 > -1 ✓ → a=-1/2에서 최솟값
최솟값 = \(\boxed{\dfrac{35}{4}} \quad 🎯\)
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: D>0 조건을 구하지 않고 (α+1)(β+1) 전개만 진행 → a의 범위 없이 꼭짓점값을 무조건 최솟값으로!
❌ 실수 2: \((\alpha+1)(\beta+1)\)을 직접 α, β 대입으로 계산 시도 → 근과 계수 전개가 훨씬 빠릅니다!
❌ 실수 3: D/4 전개 실수: \((a+3)^2-(a^2-a+2)\)를 잘못 전개
📌 외워두면 득점하는 패턴
판별식 + 근의 대칭식 최솟값 패턴
- D>0 (서로 다른 두 실근 조건) → a의 범위 결정
- 근과 계수: α+β=-(p/a), αβ=q/a (비에타 공식)
- (α+1)(β+1)=αβ+(α+β)+1 → a의 이차함수로 변환
- 범위 내 이차함수 최솟값 → 꼭짓점 vs 경계 비교
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 4분
→ D>0 → a범위 → 근과계수 → (α+1)(β+1) 전개 → 최솟값
📝 수능 시험: 목표 3분
→ D/4 전개 암산 + 근과계수 즉시 대입 자동화!
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 판별식 조건 + 근의 대칭식 최솟값 심화 마플시너지 공수1 | 근과 계수 + 범위 최대·최소 종합- 연산 워크시트 29번 → 근과 계수의 관계 기초
- 개념 포스트 (판별식 실근 조건) → D>0 조건 완벽 이해
- 마플시너지 → 판별식 + 근의 대칭식 심화