쎈 공통수학1 624번 📐 공통부분 치환 후 최댓값 조건에서 k 결정
유형문제 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수의 최대·최소
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 🎬 t=x²-6x+7 치환 후 x²-6x = t-7 변환하는 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 핵심: x²-6x+7과 x²-6x의 관계 → x²-6x = t-7
- 💡 위로 볼록 함수에서 t 범위 확인 후 t=1에서 최댓값
- ⚠️ x²-6x+7과 x²-6x의 차이 7을 놓치는 실수 방지
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
🌟 핵심: t=x²-6x+7로 치환하면 x²-6x = t-7로 변환됩니다!
이 변환이 이 문제의 핵심입니다. 📱 충전기 연결 후 직접 써보세요.
🔑🔄
핵심 변환 관계:
t = x²-6x+7 → x²-6x = t-7
이 관계를 y의 식에서 x²-6x 자리에 대입!
핵심 변환 관계:
t = x²-6x+7 → x²-6x = t-7
이 관계를 y의 식에서 x²-6x 자리에 대입!
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
\(y=-2(x^2-6x+7)^2+4(x^2-6x)+k+20\)의 최댓값이 2일 때, 상수 k의 값을 구합니다.
🗝️ 핵심 변환 파악
t = x²-6x+7로 놓으면 → x²-6x = t-7
\(y=-2t^2+4(t-7)+k+20=-2t^2+4t-28+k+20=-2t^2+4t+k-8\)
t = x²-6x+7로 놓으면 → x²-6x = t-7
\(y=-2t^2+4(t-7)+k+20=-2t^2+4t-28+k+20=-2t^2+4t+k-8\)
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. t=x²-6x+7=(x-3)²-2 → t≥-2
힌트 2. x²-6x = t-7 → y=-2t²+4t+k-8=-2(t-1)²+k-6
힌트 3. 위로 볼록, 꼭짓점 t=1이 t≥-2 범위 안 → t=1에서 최댓값 k-6=2 → k=?
🧠 핵심 풀이
1 치환 및 t 범위
\(t=x^2-6x+7=(x-3)^2-2\) → t≥-2
\(t=x^2-6x+7=(x-3)^2-2\) → t≥-2
2 x²-6x = t-7 대입 및 완전제곱식
\(y=-2t^2+4(t-7)+k+20=-2t^2+4t+k-8\)
\(=-2(t-1)^2+2+k-8=-2(t-1)^2+k-6\)
\(y=-2t^2+4(t-7)+k+20=-2t^2+4t+k-8\)
\(=-2(t-1)^2+2+k-8=-2(t-1)^2+k-6\)
3 최댓값 조건으로 k 결정
위로 볼록, 꼭짓점 t=1≥-2 ✓ → t=1에서 최댓값:
\(k-6=2 \Rightarrow \boxed{k=8} \quad 🎯\)
위로 볼록, 꼭짓점 t=1≥-2 ✓ → t=1에서 최댓값:
\(k-6=2 \Rightarrow \boxed{k=8} \quad 🎯\)
🔄→📐→✅
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 가장 흔한 실수: x²-6x+7을 t로 놓은 후, 식 안의 x²-6x를 t-7로 변환하지 않고 그대로 두기
→ x²-6x = (x²-6x+7)-7 = t-7으로 반드시 변환!
❌ 실수 2: y=-2t²+4t+k-8에서 -2(t-1)²로의 완전제곱 과정에서 계수 처리 실수
→ -2t²+4t = -2(t²-2t) = -2(t-1)²+2 확인!
📌 외워두면 득점하는 패턴
공통부분이 다른 식과 관계될 때 변환 패턴
- t = A+c 형태 → A = t-c로 변환 후 대입
- 예: t=x²-6x+7이면 x²-6x=t-7로 변환
- 변환 후 y를 t의 식으로만 표현 → 최대·최소 처리
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 3분
→ 치환 → x²-6x=t-7 변환 → 완전제곱 → 최댓값 조건
📝 수능 시험: 목표 2분
→ “t=A+c → A=t-c” 변환 즉시 처리 자동화
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 치환 변환 후 최댓값 조건 k 결정 심화 마플시너지 공수1 | 공통부분 치환 종합
🗺️ 추천 학습 순서
- 연산 워크시트 46번 → 치환 기초
- 622·623번 포스트 → 치환 유형 복습
- 마플시너지 → 치환 변환 + k 결정 심화