쎈 공통수학1 620번 📝 서술형 | 제한 범위 이차함수 최대·최소로 a+b 결정
서술형 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수의 최대·최소
- 🎬 a>0, a<0 두 경우 분류 + 최대·최소 연립 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 꼭짓점 x=2가 구간 [-1,1] 밖 → a 부호와 무관하게 끝점에서 최대·최소 발생
- 💡 두 경우 모두 a+b=1이 나오는 아름다운 이유 분석
- ✍️ 서술형 단계별 답안 작성 완전 가이드
- ⏱ 서술형 목표 풀이 시간
🌟 핵심: 꼭짓점이 항상 x=2로 구간 밖이므로 a의 부호에 따라 그래프 방향만 달라지고
끝점에서의 연립방정식을 세우면 됩니다! 📱 충전기 연결 후 먼저 꼭짓점을 파악하세요.
경우 분류의 기준: a의 부호
a>0 → 아래로 볼록 → 구간 왼쪽(x=-1)에서 최댓값, 오른쪽(x=1)에서 최솟값
a<0 → 위로 볼록 → 구간 오른쪽(x=1)에서 최댓값, 왼쪽(x=-1)에서 최솟값
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
\(-1 \leq x \leq 1\)에서 이차함수 \(y=ax^2-4ax+b\)의 최댓값이 5, 최솟값이 -3이다. 상수 a, b에 대하여 a+b의 값을 구하시오.
🔑 핵심 분석
- \(y=a(x-2)^2-4a+b\) → 꼭짓점 x=2 → 구간 [-1,1]의 오른쪽 밖!
- 꼭짓점이 항상 구간 밖 → a의 부호에 따라 단조 증감 방향이 결정
- a>0 (아래로 볼록): x=-1에서 꼭짓점에서 가장 멀어 → 최댓값
- a<0 (위로 볼록): x=-1에서 꼭짓점에서 가장 멀어 → 최솟값
구간 [-1,1]에서 꼭짓점까지의 거리: |−1−2|=3, |1−2|=1
→ x=-1이 꼭짓점에서 가장 먼 점 → a>0이면 최댓값, a<0이면 최솟값
① \(y=a(x-2)^2-4a+b\) 변환, 꼭짓점 x=2 확인
② 꼭짓점이 구간 [-1,1] 밖임을 명시
③ [경우 1] a>0: 끝점 함수값 설정 → 연립 → a, b 결정
④ [경우 2] a<0: 끝점 함수값 설정 → 연립 → a, b 결정
⑤ 두 경우 모두 a+b=1 확인
⑥ 결론: a+b=1
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. \(y=a(x-2)^2-4a+b\). f(-1)=5a+b, f(1)=-3a+b를 계산하세요.
힌트 2. a>0이면 f(-1)이 최댓값=5, f(1)이 최솟값=-3 → 연립하면?
힌트 3. a<0이면 방향이 반대 → f(1)이 최댓값=5, f(-1)이 최솟값=-3 → 연립하면?
🧠 핵심 풀이 | 두 경우 완전 분석
\(y=a(x^2-4x)+b=a(x-2)^2-4a+b\) → 꼭짓점 (2, -4a+b)
$$f(-1) = a \cdot 9 – 4a + b = 5a+b$$ $$f(1) = a \cdot 1 – 4a + b = -3a+b$$
꼭짓점이 오른쪽 밖 → 구간에서 단조감소 → x=-1 최댓값, x=1 최솟값 $$\begin{cases} f(-1)=5a+b=5 \\ f(1)=-3a+b=-3 \end{cases}$$ 빼면: \(8a=8 \Rightarrow a=1, b=0\)
확인: a=1>0 ✓ → a+b=1
꼭짓점이 오른쪽 밖 → 구간에서 단조증가 → x=1 최댓값, x=-1 최솟값 $$\begin{cases} f(1)=-3a+b=5 \\ f(-1)=5a+b=-3 \end{cases}$$ 빼면: \(-8a=8 \Rightarrow a=-1, b=2\)
확인: a=-1<0 ✓ → a+b=1
경우 1: a=1, b=0 → a+b=1
경우 2: a=-1, b=2 → a+b=1
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: 꼭짓점이 x=2임을 계산하지 않고 경우 분류 없이 풀기
→ 꼭짓점 x=2가 구간 [-1,1] 밖임을 반드시 먼저 확인!
❌ 실수 2: a>0 경우만 풀고 끝내기 (서술형 감점!)
→ a<0 경우도 검토해야 완전한 답안
❌ 실수 3: a>0이면 “단조감소”라 x=-1에서 최솟값이 나온다고 착각
→ 아래로 볼록 + 구간이 꼭짓점의 왼쪽 → 단조감소 → 왼쪽 끝(x=-1)이 최댓값!
❌ 서술형 감점: 경우 분류 근거 미서술, 각 경우의 a 부호 확인 미서술
📌 외워두면 득점하는 패턴
꼭짓점이 구간 오른쪽 밖일 때 최대·최소 패턴
- a>0 (아래로 볼록): 구간 내에서 단조감소 → 왼쪽 끝=최댓값, 오른쪽 끝=최솟값
- a<0 (위로 볼록): 구간 내에서 단조증가 → 오른쪽 끝=최댓값, 왼쪽 끝=최솟값
- 양쪽 모두 연립방정식 풀기 → 두 경우의 a+b가 같을 수 있음!
💡 꼭짓점이 구간의 왼쪽 밖이면 방향이 반대입니다!
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 서술형 시험: 목표 5분
→ 꼭짓점 확인 → 경우 1(a>0) 연립 풀이 → 경우 2(a<0) 연립 풀이 → 두 결론 정리
각 경우에서 a 부호 검증 명시해야 감점 없음!
📝 수능 시험 (유사 유형): 목표 3분
→ 꼭짓점 즉시 파악 → 끝점 함수값 계산 → 2경우 연립 빠르게 처리
💡 속도 향상: f(-1), f(1) 암산 + 연립방정식 뺄셈으로 a 즉시 결정!
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 꼭짓점 구간 밖 a 부호 경우 분류 심화 마플시너지 공수1 | 제한 범위 최대·최소 서술형 완전 정복- 연산 워크시트 40·41번 → 제한 범위 기초 반복
- 618번 포스트 → 경우 분류 기초 유형 완벽 이해
- 마플시너지 → a 부호 경우 분류 서술형 심화