쎈 공통수학1 605번 📝 서술형 | 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계
서술형 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수와 이차방정식
- 🎬 “항상 위쪽” 조건을 이차부등식으로 변환하는 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 “항상 위쪽” → 차의 이차식 > 0 → D<0 연결 원리
- ✍️ 서술형 답안 작성 포인트 (단계별 근거 제시)
- ⚠️ D < 0인데 D ≤ 0으로 설정하는 실수 방지
- ⏱ 서술형 시험 목표 풀이 시간
🌟 “항상 위쪽”이라는 표현이 나오면 차이식 > 0 → 모든 x에서 성립 → D<0의 흐름을 즉시 떠올려야 합니다!
충전기 연결 후 서술 순서를 직접 작성해보세요 ✍️
① “항상 위쪽” → 모든 실수 x에서 f(x) > g(x)
② f(x)−g(x) > 0이 모든 실수 x에서 성립
③ f(x)−g(x)를 이차식으로 정리
④ 최고차계수 > 0이고 항상 양수 → D < 0
⑤ k의 범위 → 정수 최솟값
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
이차함수 \(y = x^2 – 2kx + 3\)의 그래프가 직선 \(y = -4x – k^2\)보다 항상 위쪽에 있도록 하는 정수 k의 최솟값을 구합니다.
🔑 단서 찾기
- “항상 위쪽” → 모든 실수 x에서 (이차함수 값) > (직선 값)
- 차이식 \(f(x)-g(x)>0\)이 모든 x에서 성립 → 이차식이 항상 양수
- 최고차계수 > 0이고 항상 양수 → D < 0
\(f(x) > g(x)\) (모든 x) → \(f(x)-g(x) > 0\) (모든 x)
→ 이차함수 \(h(x) = f(x)-g(x)\)에서 최고차계수 > 0이면:
→ \(h(x) > 0\) (모든 x) ↔ 꼭짓점 y좌표 > 0 ↔ D < 0
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. \(x^2-2kx+3 > -4x-k^2\)를 정리하면 \(x^2-2(k-2)x+(k^2+3) > 0\)
힌트 2. 이 이차식이 모든 실수에서 양수 → D/4 < 0
힌트 3. D/4 = \((k-2)^2-(k^2+3)=-4k+1\). D/4 < 0에서 k > ?
🧠 핵심 풀이 | 왜 이렇게 푸는가?
\(x^2-2kx+3>-4x-k^2\)를 이항: $$x^2 + (-2k+4)x + (k^2+3) > 0$$ $$x^2 – 2(k-2)x + (k^2+3) > 0 \quad \text{(모든 실수 x에서)}$$
최고차계수=1 > 0이므로, 항상 양수 ↔ D < 0: $$\frac{D}{4} = (k-2)^2 – (k^2+3)$$ $$= k^2-4k+4-k^2-3 = -4k+1 < 0$$ $$-4k < -1 \quad \Rightarrow \quad k > \frac{1}{4}$$
\(k > \dfrac{1}{4}\)를 만족하는 정수 k의 최솟값: \(\boxed{1} \quad 🎯\)
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: “항상 위쪽” 조건에서 D ≤ 0으로 설정 → 등호 포함 시 이차식=0이 되는 x 존재 → 위쪽이 아니라 만남! 반드시 D < 0
❌ 실수 2: D/4 전개 시 \((k-2)^2=k^2-4k+4\)에서 −4k 누락
❌ 실수 3: k > 1/4인 정수 최솟값을 0으로 착각 → 0은 1/4보다 크지 않으므로 탈락, 최솟값은 1
❌ 서술형 감점: “모든 실수 x에서 성립하므로 D < 0″이라는 서술 근거를 생략하면 감점!
📌 외워두면 득점하는 패턴
“항상 위쪽/아래쪽” 조건 핵심 패턴
- \(f(x)>g(x)\) (항상) → \(f(x)-g(x)>0\) (항상) → 이차식의 D < 0
- \(f(x)
- 주의: 최고차계수가 양수여야 “D < 0 ↔ 항상 양수” 성립
💡 이 패턴은 이차부등식, 판별식, 함수의 위치 관계가 모두 합쳐진 종합 유형!
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 서술형 시험: 목표 4분
→ 5단계 서술을 논리적으로 작성. 단계마다 근거 명시하면 부분점수 확보!
📝 수능·객관식 시험: 목표 2분
→ “항상 위쪽” → D<0 자동반응 → 전개 → k > 1/4 → 정수 최솟값 1
💡 속도 향상: “항상 성립 = D<0″을 무조건 반사로 훈련!
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 이차함수가 직선보다 항상 위쪽인 조건 유형 마플시너지 공수1 | 이차식이 항상 양수인 조건 D<0 심화- 연산 워크시트 54번 → 이차부등식 항상 성립 조건 기초
- 개념 포스트 (이차부등식 항상 성립) → D<0 원리 완벽 이해
- 마플시너지 → 함수 위치 관계 + 항상 성립 복합 심화 유형