쎈 공통수학1 596번 📐 이차함수의 그래프와 직선의 교점
유형문제 난이도 ★★★☆☆ 5단원 | 이차함수와 이차방정식
- 🎬 교점과 근과 계수의 관계를 연결하는 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 교점의 x좌표 = 이차방정식의 근임을 이해하기
- ⚠️ 최고차계수 2를 빠뜨리는 치명적 실수 방지
- 💡 근과 계수의 관계 공식 정리
- ⏱ 내신·수능 목표 시간
📱 충전기 연결 후 조금씩 내려보세요. 스크롤하다가 유레카! 외치는 순간이 옵니다 🎉
핵심 아이디어: 이차함수와 직선의 교점의 x좌표
= 두 식을 연립하여 만든 이차방정식의 근!
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
이차함수 \(y = 2x^2 – 3x + 1\)의 그래프와 직선 \(y = ax + b\)의 두 교점의 x좌표가 각각 \(-2,\; 3\)일 때, \(a+b\)의 값을 구합니다.
🔑 단서 찾기
- “두 교점의 x좌표 -2, 3” → 이차방정식의 두 근이 -2, 3
- 연립하면 \(2x^2 – 3x + 1 = ax + b\), 즉 \(2x^2 – (a+3)x + (1-b) = 0\)
- 최고차계수가 2임을 주의! (근과 계수의 관계에서 반드시 반영)
$$\alpha + \beta = -\frac{B}{A}, \quad \alpha \beta = \frac{C}{A}$$ 이 문제에서 \(A = 2\)! 절대 잊으면 안 됩니다.
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. \(2x^2 – 3x + 1 = ax + b\)를 정리하면 \(2x^2 – (a+3)x + (1-b) = 0\)
힌트 2. 두 근 -2, 3이므로: 두 근의 합 \(= \dfrac{a+3}{2} = 1\)에서 a = ?
힌트 3. 두 근의 곱 \(= \dfrac{1-b}{2} = -6\)에서 b = ?
🧠 핵심 풀이 | 왜 이렇게 푸는가?
\(2x^2 – 3x + 1 = ax + b\)를 정리하면: $$2x^2 – (a+3)x + (1-b) = 0$$ 두 근이 \(\alpha = -2,\; \beta = 3\)
두 근의 합: \(\alpha + \beta = -2 + 3 = 1 = \dfrac{a+3}{2}\) $$a + 3 = 2 \quad \Rightarrow \quad a = -1$$ 두 근의 곱: \(\alpha \cdot \beta = (-2)(3) = -6 = \dfrac{1-b}{2}\) $$1 – b = -12 \quad \Rightarrow \quad b = 13$$
$$a + b = -1 + 13 = \boxed{12} \quad 🎯$$
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 가장 흔한 실수: 두 근의 합 = \(\dfrac{-(a+3)}{1}\) 로 계산 → 최고차계수 2로 나눠야!
두 근의 합 \(= \dfrac{a+3}{2}\), 두 근의 곱 \(= \dfrac{1-b}{2}\)
❌ 실수 2: 이차방정식 정리 시 우변을 이항하면서 부호 실수 → 이항 후 검산 필수
❌ 실수 3: a+b를 구하지 않고 a 또는 b만 구하고 답으로 착각
📌 외워두면 득점하는 패턴
이차함수 ↔ 직선의 교점 공략 패턴
- 두 식을 연립 → 이차방정식으로 변환
- 교점의 x좌표 = 이차방정식의 근
- 최고차계수 A 확인 → 근과 계수의 관계에 A 반드시 반영
- 합: \(\alpha + \beta = -B/A\), 곱: \(\alpha\beta = C/A\)
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 2분
→ 이차방정식 정리 후 근과 계수의 관계 두 개 식으로 a, b 각각 계산. 검산으로 마무리
📝 수능 시험: 목표 1분 10초
→ 연립 → 이차방정식 → 근과 계수 적용까지의 흐름을 완전 자동화!
💡 속도 향상: 연산 워크시트로 근과 계수 계산을 손에 익히기
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 이차함수와 직선의 교점, 근과 계수의 관계 적용 마플시너지 공수1 | 근과 계수의 관계 심화 응용- 연산 워크시트 29번 → 근과 계수 계산 반복 훈련
- 개념 포스트 (이차함수와 직선의 관계) → 원리 이해
- 마플시너지 → 심화 변형 문제