쎈 공통수학1 595번 📐 이차함수와 x축의 위치 관계
유형문제 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수와 이차방정식
- 🎬 전문 강사의 항등식 풀이 영상 (필수 시청!)
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 “k에 관계없이”라는 말의 수학적 의미 완벽 이해
- 🧠 항등식 조건 설정 → 연립방정식 풀기
- ⚠️ D/4를 k에 대한 식으로 정리하지 못하는 실수 방지
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
🌟 이 문제는 “항상 성립”이라는 핵심어가 항등식 개념과 연결됩니다.
처음 보면 어렵지만, 한 번 패턴을 익히면 비슷한 문제를 모두 풀 수 있어요!
충전기를 연결하고 스크롤을 천천히 내려가세요.
“k의 계수=0, 상수항=0”이라는 순간이 각인될 거예요! 🔥
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
이차함수 \(y = x^2 + 2(a+k)x + k^2 + 6k + b\)의 그래프가 실수 k의 값에 관계없이 항상 x축에 접한다고 할 때, 실수 \(a, b\)에 대하여 \(ab\)의 값을 구합니다.
🔑 단서 찾기 – 여기서 핵심!
- “x축에 접한다” → 판별식 \(D = 0\)
- “k에 관계없이 항상” → \(\dfrac{D}{4} = 0\)이 k에 대한 항등식
- 항등식 조건 → k의 계수 = 0, 상수항 = 0으로 분리
어떤 k를 넣어도 등식이 성립 = 항등식
\(pk + q = 0\)이 k에 관계없이 항상 성립하려면: \(p = 0\)이고 \(q = 0\)
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. \(\dfrac{D}{4} = (a+k)^2 – (k^2 + 6k + b)\)를 전개하세요.
힌트 2. \(k^2\) 항이 사라집니다! 전개 결과를 k에 대해 정리하면?
힌트 3. 이 식이 항상 0이 되려면, k의 계수와 상수항이 모두 0이어야 합니다.
🧠 핵심 풀이 | 왜 이렇게 푸는가?
$$\frac{D}{4} = (a+k)^2 – (k^2 + 6k + b)$$ $$= a^2 + 2ak + k^2 – k^2 – 6k – b$$ $$= (2a – 6)k + (a^2 – b)$$ \(k^2\) 항이 깔끔하게 사라집니다 ✨
\((2a-6)k + (a^2 – b) = 0\)이 모든 k에 대해 성립하려면: $$2a – 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 3$$ $$a^2 – b = 0 \quad \Rightarrow \quad 9 – b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 9$$
$$ab = 3 \times 9 = \boxed{27} \quad 🎯$$
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: D/4를 계산한 후 k에 대해 정리하지 않고, 특정 k값(예: k=0)을 대입해서 풀려는 시도 → 항등식은 k에 대해 정리 후 계수비교!
❌ 실수 2: \((a+k)^2\) 전개 시 \(2ak\) 항을 빠뜨림 → 전개 공식 \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\)
❌ 실수 3: 항등식 조건에서 k의 계수만 0으로 두고 상수항을 확인하지 않는 실수
📌 외워두면 득점하는 패턴
항등식 패턴 (시험에 매우 자주 등장!)
- \(f(k) = pk + q = 0\)이 모든 k에 성립 → \(p=0,\; q=0\)
- \(f(k) = pk^2 + qk + r = 0\)이 모든 k에 성립 → \(p=0,\; q=0,\; r=0\)
💡 이 문제에서 \(k^2\)이 상쇄되어 일차식만 남는 것을 미리 예측하면 훨씬 빠릅니다.
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 3분
→ D/4 전개 → k에 대해 정리 → 계수비교 → a, b 계산. 검산 필수
📝 수능 시험: 목표 2분
→ “k에 관계없이”를 보는 순간 항등식 조건을 바로 떠올려야 합니다
💡 속도 향상: “항상 성립 = 항등식 = 계수비교”라는 자동화된 반응이 필요!
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 항등식 조건으로 미정계수 구하기 마플시너지 공수1 | 이차함수가 항상 x축에 접할 조건 심화- 연산 워크시트 28번 → D 계산 기초
- 개념 포스트 (이차함수와 직선의 관계) → 접선 개념 이해
- 마플시너지 → 항등식 + 이차함수 복합 심화 문제