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원 위의 한 점에서의 접선의 x절편과 y절편의 관계가 주어졌을 때, 접점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 접점 P의 좌표를 (a,b)로 설정합니다. (a²+b²=4)
2. 점 P에서의 접선의 방정식은 ax+by=4 입니다.
3. 이 접선의 x절편(4/a)과 y절편(4/b)을 구합니다.
4. 두 절편을 밑변과 높이로 하는 직각삼각형의 빗변의 길이가 주어진 선분 QR의 길이입니다. 피타고라스 정리를 이용해 a,b의 관계식을 얻습니다.
5. 1단계와 4단계에서 얻은 두 관계식을 연립하여 a,b 값을 구합니다.
주의할 점:
여러 미지수와 관계식을 체계적으로 정리하고 연립하는 능력이 필요합니다. 제1사분면 위의 점이라는 조건도 활용해야 합니다.
”
접선의 절편 관계로 접점 구하기
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원 위의 한 점에서의 접선이 다른 원에 접할 때, 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 첫 번째 원 위의 점 (-1,2)에서의 접선의 방정식을 구합니다.
2. 이 접선이 두 번째 원에도 접해야 합니다.
3. 두 번째 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심과 반지름을 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
4. 두 번째 원의 중심과 1단계에서 구한 접선 사이의 거리가 두 번째 원의 반지름과 같다는 등식을 세웁니다.
5. 이 등식을 풀어 a값을 구합니다.
주의할 점:
하나의 직선이 두 개의 다른 원에 접하는 상황을 식으로 표현하는 문제입니다. 점과 직선 사이의 거리 공식이 핵심적인 역할을 합니다.
”
원 위의 점 접선이 다른 원에 접할 조건
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원 위의 한 점에서의 접선과 x축, y축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 중심이 (1,2)인 원 위의 점 (-2,6)에서의 접선의 방정식을 구합니다. (공식: (x₁-a)(x-a) + (y₁-b)(y-b) = r²)
2. 구한 접선의 x절편과 y절편을 각각 찾습니다.
3. x절편과 y절편을 밑변과 높이로 하는 직각삼각형의 넓이를 구합니다.
주의할 점:
중심이 원점이 아닌 원 위의 점에서의 접선 공식을 정확하게 암기하거나, (기울기) * (반지름의 기울기) = -1 이라는 수직 조건을 이용해 유도할 수 있어야 합니다.
”
중심이 원점 아닌 원의 접선과 넓이
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원 위의 두 점에서 그은 각각의 접선의 교점을 찾고, 사각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 점 P(-1,3)에서의 접선의 방정식을 구합니다.
2. 원 위의 점 Q(3,1)에서의 접선의 방정식을 구합니다.
3. 두 접선의 방정식을 연립하여 교점 R의 좌표를 찾습니다.
4. 사각형 OPRQ의 넓이를 구합니다. 이 사각형은 두 개의 합동인 직각삼각형(OPR과 OQR)으로 이루어져 있으므로, 한쪽 삼각형의 넓이를 구해 2배 하면 됩니다.
주의할 점:
두 접선이 수직임을 파악하면, 사각형 OPRQ가 한 변의 길이가 반지름인 정사각형이 되어 넓이를 더 쉽게 구할 수 있습니다.
”
원 위의 두 접선의 교점과 사각형 넓이
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원 위의 한 점에서의 접선이 다른 원과 평행할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 x²+y²=5 위의 점 (-2,1)에서의 접선의 방정식을 구합니다.
2. 구한 접선과 평행하므로, 기울기가 같습니다. 원 x²+y²=9에 접하면서 이 기울기를 갖는 접선의 방정식을 구합니다.
3. 기울기가 주어진 원의 접선 공식을 이용하면 두 개의 평행한 접선이 나옵니다.
주의할 점:
문제의 흐름을 정확히 따라야 합니다. 첫 번째 원에서는 ‘접점’을, 두 번째 원에서는 ‘기울기’를 핵심 정보로 사용합니다.
”
원 위의 점 접선과 평행한 다른 원의 접선
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원 위의 한 점에서의 접선과 다른 직선의 수직 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 x²+y²=20 위의 점 (2,4)에서의 접선의 방정식을 공식(x₁x + y₁y = r²)을 이용해 구합니다. (2x+4y=20)
2. 이 접선과 주어진 직선 kx-3y+6=0이 서로 수직입니다.
3. 두 직선이 수직일 조건(기울기의 곱=-1 또는 일반형에서 aa’+bb’=0)을 이용해 k값을 구합니다.
주의할 점:
원 위의 점에서의 접선 공식을 정확히 암기하고, 두 직선의 수직 조건을 올바르게 적용하는 것이 중요합니다.
”
원 위의 점 접선과 다른 직선의 수직 조건
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원 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 유도하는 과정을 묻는 빈칸 추론 문제입니다.
접근법:
1. 이 증명은 **반지름과 접선이 수직**이라는 기하학적 성질을 이용합니다.
2. (가): 반지름 OP와 접선 l은 서로 수직입니다.
3. (나), (다): 직선 OP의 기울기를 구하고, 수직인 직선 l의 기울기는 그것의 음수의 역수임을 이용합니다.
4. (라), (마): 점 P를 지나고 (다)의 기울기를 갖는 직선의 방정식을 세우고, 점 P가 원 위의 점이라는 조건(x₁²+y₁²=r²)을 이용해 식을 최종적으로 정리합니다.
주의할 점:
공식의 유도 과정을 이해하면, 중심이 원점이 아닌 경우에도 동일한 원리를 적용하여 접선의 방정식을 유도할 수 있습니다.
”
원 위의 점에서의 접선 공식 유도
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원과 평행한 접선의 y절편의 곱을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 직선 y=x+2와 평행하므로, 구하려는 접선의 기울기는 1입니다.
2. 중심이 원점이고 반지름이 3인 원에 접하는 기울기 1인 접선의 방정식은 **y = 1*x ± 3√(1²+1)** 입니다.
3. 두 개의 접선 방정식이 나오며, 각 방정식의 y절편은 ±3√2 입니다.
4. 두 y절편의 곱을 계산합니다.
주의할 점:
y=mx±r√(m²+1) 공식은 중심이 원점일 때만 사용할 수 있습니다. 이 문제에서는 중심이 원점이므로 바로 적용 가능합니다.
”
평행한 접선의 y절편의 곱
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원 위의 동점과 두 정점으로 만들어지는 삼각형의 넓이의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 ABP에서 선분 AB를 밑변으로 고정합니다. 밑변의 길이는 일정합니다.
2. 넓이가 최대가 되려면 **높이가 최대**여야 합니다. 높이는 점 P와 직선 AB 사이의 거리입니다.
3. 원 위의 점에서 직선까지의 거리의 최댓값은, **(원의 중심과 직선 사이의 거리) + (반지름)** 입니다.
4. 직선 AB의 방정식을 구하고, 원의 중심(0,0)과 이 직선 사이의 거리를 구한 뒤, 반지름을 더해 최대 높이를 찾습니다.
5. 밑변과 최대 높이를 이용해 넓이의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
이 유형의 문제에서 최대/최소 높이는 항상 원의 중심을 기준으로 한다는 점을 기억해야 합니다.
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원 위의 점과 삼각형 넓이의 최댓값
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기울기가 -1인 접선을 평행이동시켜 다른 접선과 일치시키는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 원 x²+y²=4에 접하고 기울기가 -1인 접선은 두 개가 있습니다. 공식을 이용해 두 접선의 방정식(y=-x+2√2, y=-x-2√2)을 모두 구합니다.
2. 제1사분면에서 접하는 것은 y절편이 양수인 y=-x+2√2 입니다.
3. 이 직선을 y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 직선의 방정식은 y=-x+2√2+n 입니다.
4. 이 평행이동한 직선이 제3사분면에서 접하는 직선, 즉 y=-x-2√2 와 일치해야 합니다.
5. y절편이 같아야 하므로, 2√2+n = -2√2 라는 등식을 풀어 n값을 구합니다.
주의할 점:
기울기가 같은 접선은 y절편만 다릅니다. 평행이동은 y절편의 변화를 의미한다는 것을 이해하면 쉽게 풀 수 있습니다.
”
평행이동으로 접선 일치시키기
