유리수 지수 계산 연습
유리수 지수는 거듭제곱근과 지수법칙을 하나로 연결하는 다리입니다. am/n = n√(am)라는 약속 하나로, 복잡한 근호식을 깔끔한 분수 지수로 바꿀 수 있고 — 반대로 지수식을 근호로 되돌릴 수도 있습니다. 지수함수·로그함수 단원에서는 밑을 통일하거나, 지수끼리 비교하는 과정에서 유리수 지수 변환이 끊임없이 나옵니다. 여기서 “근호 ↔ 분수 지수” 변환과 지수법칙 적용을 빠르게 처리하는 감각을 잡아보세요.
핵심 공식 정리
공식 1 │ 유리수 지수의 정의
a1/n = n√a │ am/n = n√(am) = (n√a)m
· a > 0, m은 정수, n은 2 이상의 자연수
⚠ 분수 지수에서 분모 = 근호 차수, 분자 = 거듭제곱으로 기억!
공식 2 │ 유리수 지수에서도 성립하는 지수법칙
| 법칙 | 공식 |
| 곱셈 | ap × aq = ap+q |
| 나눗셈 | ap ÷ aq = ap−q |
| 거듭제곱 | (ap)q = apq |
| 분배 | (ab)p = ap × bp |
· p, q는 유리수, a > 0, b > 0
공식 3 │ 자주 쓰는 변환 (암기 필수)
√a = a1/2 │ ∛a = a1/3 │ ⁴√a = a1/4
1/√a = a−1/2 │ √(a³) = a3/2 │ 1/∛(a²) = a−2/3
연습문제
Q1. 82/3 = ?
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82/3 = (∛8)² = 2² = 4
💡 분모 3 → 세제곱근, 분자 2 → 제곱. 순서는 어느 쪽이든 같다: ∛(8²) = ∛64 = 4
Q2. 27−1/3 = ?
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27−1/3 = 1 / 271/3 = 1 / ∛27 = 1/3
💡 음의 유리수 지수 → 역수 + 근호 두 단계로 처리!
Q3. 163/4 = ?
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163/4 = (⁴√16)³ = 2³ = 8
Q4. (1/4)−3/2 = ?
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음의 지수 → 뒤집기: (1/4)−3/2 = 43/2
43/2 = (√4)³ = 2³ = 8
Q5. ³√(a√a) 를 ak 꼴로 나타내시오. (a > 0)
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√a = a1/2 이므로
a√a = a1 × a1/2 = a3/2
∛(a3/2) = (a3/2)1/3 = a3/2 × 1/3 = a1/2 = √a
Q6. 91/2 × 271/3 ÷ 3−1 = ?
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밑을 3으로 통일:
91/2 = (3²)1/2 = 3¹ = 3
271/3 = (3³)1/3 = 3¹ = 3
3−1 = 1/3
∴ 3 × 3 ÷ (1/3) = 9 × 3 = 27
💡 지수법칙으로도: 3¹ × 3¹ × 3¹ = 3³ = 27
Q7. (41/2 × 81/3)6 = ?
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밑을 2로 통일:
41/2 = (2²)1/2 = 2¹
81/3 = (2³)1/3 = 2¹
괄호 안 = 2¹ × 2¹ = 2²
(2²)6 = 212 = 4096
Q8. a1/3 × a−1/6 ÷ a1/2 = ? (a > 0)
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지수끼리 계산 (통분):
1/3 + (−1/6) − 1/2 = 2/6 − 1/6 − 3/6 = −2/6 = −1/3
∴ a−1/3 = 1 / ∛a
💡 유리수 지수의 사칙연산 = 분수의 통분·계산이 전부!
🔢 고등대수 연산 시리즈 – 지수 영역
| 순서 | 연산 주제 |
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| 이전 ② | 거듭제곱근의 성질 활용 계산 연습 |
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| 다음 ② | 로그값 구하기 기본 연습 |