📌 조건 두 개에 미지수 네 개? “밑을 6으로 통일”하는 발상이 핵심입니다!
이 문제는 지수법칙과 밑 통일을 활용하는 고난도 유형입니다. 네 실수 a, b, x, y가 (가) a³b² = 9, (나) a²ˣ = 1/(2b)³ʸ = 6의 두 조건을 만족시킬 때 3/(2x) − 2/(3y)의 값을 구해야 합니다. 조건 (나)에서 a²ˣ = 6이므로 양변을 1/(2x) 제곱하여 a = 61/(2x)로, 마찬가지로 (2b)² = 6−2/(3y)로 정리한 뒤 조건 (가)에 대입하면 깔끔하게 풀립니다. 정답은 2입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 104번 · STEP3 일등급문제)
네 실수 a, b, x, y가 (가) a³b² = 9, (나) a²ˣ = 1/(2b)³ʸ = 6을 만족시킬 때, 3/(2x) − 2/(3y)의 값을 구하는 문제입니다. 정답은 2입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
a²ˣ = 6이므로 양변을 1/(2x) 제곱하면 (a²ˣ)1/(2x) = 61/(2x), 즉 a = 61/(2x)
∴ a³ = 63/(2x) ……ⓐ
1/(2b)³ʸ = 6에서 (2b)³ʸ = 1/6 = 6⁻¹이므로 양변을 1/(3y) 제곱하면
{(2b)³ʸ}1/(3y) = (6⁻¹)1/(3y), 즉 2b = 6−1/(3y)
∴ (2b)² = 6−2/(3y) ……ⓑ
ⓐ × ⓑ을 하면 a³ × (2b)² = 63/(2x) × 6−2/(3y)
∴ 63/(2x) − 2/(3y) = 4a³b²
이때 (가)에서 a³b² = 9이므로 63/(2x) − 2/(3y) = 4 × 9 = 36 = 6²
따라서 3/(2x) − 2/(3y) = 2
∴ 정답: 2
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① a²ˣ = 6에서 양변에 로그를 취하지 않고 “a = 6, 2x = 1″처럼 밑과 지수를 분리하려는 오류.
a²ˣ = 6은 a와 x가 동시에 관여하므로, 양변을 적절한 지수로 제곱하여 a 또는 a³ 꼴로 만들어야 합니다.
실수 ② 1/(2b)³ʸ = 6에서 (2b)³ʸ = 6으로 잘못 변환하는 경우.
분모에 있으므로 (2b)³ʸ = 1/6 = 6⁻¹입니다. 부호 방향을 주의하세요.
실수 ③ a³ × (2b)²를 a³b²로 바로 놓는 실수.
(2b)² = 4b²이므로 a³ × (2b)² = 4a³b²입니다. 계수 4를 빠뜨리지 마세요.
💡 꿀팁 – “밑 통일” 전략
aᵐ = k 꼴이 주어지면, a = k1/m으로 바꿔서 모든 변수를 k의 거듭제곱으로 통일하는 것이 정석입니다.
이 문제에서는 a²ˣ = (2b)⁻³ʸ = 6이므로 밑을 6으로 통일하면
a³과 (2b)²를 모두 6의 지수 꼴로 표현할 수 있고,
조건 (가)에 대입하면 지수끼리의 등식으로 바로 답이 나옵니다.