📌 S=NQ^½H^(-¾)에서 24^½을 어떻게 분해하나요? 밑을 소인수분해하면 답이 보입니다!
이 문제는 2011학년도 9월 고3 모의평가 나형 6번 기출입니다. 양수기의 비교회전도 공식 S=NQ^(1/2)H^(−3/4)에 두 조건을 대입하여 비율 S₁/S₂를 구합니다. 핵심은 24=2×12, 10=5×2처럼 밑을 소인수분해하여 공통 부분을 약분하는 것입니다. 정답은 ⑤ 2^(5/4)입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 88번 · 2011.09 고3모평 나형6번)
양수기로 물을 끌어올릴 때, 펌프의 1분당 회전수 N, 양수량 Q, 양수할 높이 H와 비교회전도 S 사이에 S=NQ^(1/2)H^(−3/4) 관계가 있다. (단, N, Q, H의 단위는 각각 rpm, m³/분, m이다.) N 일정, Q=24·H=5일 때 S₁, Q=12·H=10일 때 S₂라 하자. S₁/S₂의 값은? 정답은 ⑤ 2^(5/4)입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
펌프의 1분당 회전수 N은 일정하므로
S=NQ^(1/2)H^(−3/4)에서
Q=24, H=5일 때, 비교회전도 S₁ = N × 24^(1/2) × 5^(−3/4)
Q=12, H=10일 때, 비교회전도 S₂ = N × 12^(1/2) × 10^(−3/4)
따라서 S₁/S₂ = (N × 24^(1/2) × 5^(−3/4)) / (N × 12^(1/2) × 10^(−3/4))
24^(1/2) = (2×12)^(1/2) = 2^(1/2) × 12^(1/2),
10^(−3/4) = (5×2)^(−3/4) = 5^(−3/4) × 2^(−3/4)이므로
= (2^(1/2) × 12^(1/2) × 5^(−3/4)) / (12^(1/2) × 5^(−3/4) × 2^(−3/4))
= 2^(1/2) / 2^(−3/4)
= 2^(1/2+3/4)
= 2^(5/4)
∴ S₁/S₂ = 2^(5/4) → 정답: ⑤
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 24^(1/2)과 12^(1/2)을 직접 계산하려다 복잡해지는 경우.
24=2×12로 분해하면 12^(1/2)이 공통으로 약분됩니다.
실수 ② 10^(−3/4)을 (5×2)^(−3/4)으로 분해하지 못하는 경우.
비율 문제에서는 밑을 소인수분해하여 공통 부분을 찾는 것이 핵심 전략입니다.
실수 ③ 1/2+3/4 = 2/4+3/4 = 5/4 통분 과정에서 실수하는 경우.
💡 꿀팁 – 비율에서 “공통 부분 소거” 전략
S₁/S₂ 같은 비율 문제에서는 분자·분모에서 공통으로 나타나는 인수를 먼저 찾으세요.
① N(회전수)은 같으므로 바로 약분.
② 24=2×12, 10=5×2처럼 분해하면 12^(1/2)과 5^(−3/4)이 약분됨.
③ 남는 것은 2의 거듭제곱뿐이므로 지수끼리 덧셈/뺄셈으로 마무리.
이 전략은 모평·수능 실생활 문제에서 거의 매번 통합니다!