📌 아인슈타인의 상대성이론 공식이 수학 문제에? 겁먹지 마세요, 대입만 정확하면 됩니다!
이 문제는 상대론적 질량 공식에 주어진 값을 대입하는 고난도 실생활 문제입니다. m=m₀(1−v²c⁻²)^(−1/2) 에서 v와 c의 값을 넣으면 v²c⁻²=(v/c)² 꼴이 되고, 이를 정리하면 결국 분수의 거듭제곱 계산으로 귀결됩니다. 정답은 10(mg)입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 87번 · TOUGH)
정지 상태에서 질량이 m₀mg인 물체가 vm/s의 속도로 움직일 때의 질량 mmg을 구하는 식은 m=m₀(1−v²c⁻²)^(−1/2)이다. 정지 상태에서 질량이 8mg인 입자가 (9/5)×10⁸ m/s의 속도로 움직일 때의 질량을 구하시오. (단, 상수 c는 빛의 속도를 나타내고 3×10⁸ m/s로 계산한다.) 정답은 10(mg)입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
m=m₀(1−v²c⁻²)^(−1/2)에서
m₀=8, v=(9/5)×10⁸, c=3×10⁸이므로
m = 8{1−((9/5)×10⁸)²×(3×10⁸)⁻²}^(−1/2)
= 8(1−(81/25)×10¹⁶ / (9×10¹⁶))^(−1/2)
= 8(1−81/225)^(−1/2)
= 8(1−9/25)^(−1/2)
= 8(16/25)^(−1/2)
= 8×{(4/5)²}^(−1/2)
= 8×(4/5)⁻¹
= 8×(5/4) = 10
∴ 구하는 질량은 10mg
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① v²c⁻²를 계산할 때 v²와 c⁻²를 따로 처리하다 10의 거듭제곱을 틀리는 경우.
(v/c)²로 먼저 묶으면 10¹⁶이 약분되어 사라집니다. v/c를 먼저 구하세요!
실수 ② (16/25)^(−1/2)에서 −1/2 지수를 처리할 때 혼동하는 경우.
(16/25)^(−1/2) = (25/16)^(1/2) = 5/4 입니다. “역수 후 제곱근” 순서로 기억하세요.
실수 ③ 81/25÷9=81/225를 계산할 때 약분을 빠뜨리는 경우.
81/225=9/25이므로 1−9/25=16/25입니다.
💡 꿀팁 – 복잡한 대입은 “안에서 바깥으로” 정리
이런 복잡한 공식 문제는 가장 안쪽부터 계산하면 실수가 줄어듭니다.
① v²c⁻² = (v/c)² 먼저 계산 → (9/5÷3)² = (3/5)² = 9/25
② 1−9/25 = 16/25
③ (16/25)^(−1/2) = 5/4
④ m₀×5/4 = 8×5/4 = 10
한 줄씩 차근차근 풀면 고난도 문제도 실수 없이 풀 수 있습니다.