📌 2ᵃ+2ᵇ=2와 2⁻ᵃ+2⁻ᵇ=9/4… 두 식을 어떻게 연결해야 할까요?
이 문제는 2018년 3월 고3 학력평가 나형 25번 기출입니다. 2⁻ᵃ+2⁻ᵇ를 (2ᵃ+2ᵇ)/(2ᵃ⁺ᵇ) 꼴로 변환하는 것이 핵심 아이디어입니다. 즉 “역수의 합 = 합 ÷ 곱”이라는 관계를 지수에 적용하면 2^(a+b)를 한 번에 구할 수 있습니다. 정답은 ③ 17입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 83번 · 2018.03 고3학평 나형25번)
두 실수 a, b에 대하여 2ᵃ+2ᵇ=2, 2⁻ᵃ+2⁻ᵇ=9/4일 때, 2^(a+b)의 값은 q/p이다. p+q의 값은? (단, p와 q는 서로소인 자연수) 정답은 ③ 17입니다.
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※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
2⁻ᵃ+2⁻ᵇ = 1/2ᵃ + 1/2ᵇ = (2ᵃ+2ᵇ)/(2ᵃ×2ᵇ) = (2ᵃ+2ᵇ)/2^(a+b) … ⓐ
그런데 2ᵃ+2ᵇ=2이므로 이 값을 ⓐ에 대입하면
2/2^(a+b) = 9/4 → 2^(a+b) = 2×4/9 = 8/9
따라서 p=9, q=8이므로 p+q=17.
2⁻ᵃ+2⁻ᵇ=9/4의 양변에 2^(a+b)을 곱하면
(2⁻ᵃ+2⁻ᵇ)×2^(a+b) = (9/4)×2^(a+b)
2ᵇ+2ᵃ = (9/4)×2^(a+b)
2ᵃ+2ᵇ=2이므로 2 = (9/4)×2^(a+b)
∴ 2^(a+b) = 4/9 × 2 = 8/9
∴ p=9, q=8 → p+q = 17 → 정답: ③
📝 내신연계 출제문항 043
두 실수 a, b에 대하여 2ᵃ×3ᵇ=4, 2ᵇ×3ᵃ=9일 때, a−b의 값은?
① 1/2 ② 2/3 ③ 1 ④ 3/2 ⑤ 2
2ᵃ×3ᵇ=4, 2ᵇ×3ᵃ=9이므로 같은 변끼리 나누면
2^(a−b)×3^(b−a)=4/9, 2^(a−b)×3^(−(a−b))=(2/3)²
따라서 a−b=2. 정답 ⑤
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 2⁻ᵃ+2⁻ᵇ를 (2ᵃ+2ᵇ)/(2^(a+b))로 변환하는 과정에서 분모를 2ᵃ·2ᵇ=2^(a+b)로 놓지 못하는 경우.
“1/A+1/B = (A+B)/AB”라는 기본 분수 공식을 지수에 그대로 적용하세요.
실수 ② 2/2^(a+b)=9/4에서 2^(a+b)=2×9/4=9/2로 잘못 계산하는 경우.
교차곱을 하면 2×4=9×2^(a+b) → 2^(a+b)=8/9입니다.
💡 꿀팁 – “역수의 합” 공식 지수 버전
aˣ+aʸ과 a⁻ˣ+a⁻ʸ이 동시에 주어지면, 항상 다음 관계를 떠올리세요:
a⁻ˣ+a⁻ʸ = (aˣ+aʸ) / a^(x+y)
이렇게 놓으면 a^(x+y) = (aˣ+aʸ) / (a⁻ˣ+a⁻ʸ)로 바로 구할 수 있습니다.
학평·수능에서 반복 출제되는 패턴이니 반드시 암기하세요!