📌 모의평가 기출! 분수식 값이 음수(−2)일 때 4ᵃ를 구하는 과정에서 실수하기 쉽습니다!
이 문제는 2010학년도 6월 모의평가 나형 4번 기출로, (2ᵃ+2⁻ᵃ)/(2ᵃ−2⁻ᵃ) = −2라는 조건에서 분모·분자에 2ᵃ를 곱해 4ᵃ(= 2²ᵃ)를 구한 뒤 4ᵃ + 4⁻ᵃ를 계산하는 유형입니다. 61~65번과 동일한 테크닉이지만 분수식 값이 음수라는 점에서 부호 실수에 주의해야 합니다. 정답은 ② 10/3입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 66번 · 2010 모평 나형4번)
실수 a가 (2ᵃ+2⁻ᵃ)/(2ᵃ−2⁻ᵃ) = −2를 만족시킬 때, 4ᵃ + 4⁻ᵃ의 값을 구하는 문제입니다. 정답은 ② 10/3입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
(2ᵃ+2⁻ᵃ)/(2ᵃ−2⁻ᵃ) = −2에서 좌변의 분모·분자에 각각 2ᵃ를 곱하면
2ᵃ(2ᵃ+2⁻ᵃ) / 2ᵃ(2ᵃ−2⁻ᵃ) = (2²ᵃ+1) / (2²ᵃ−1) = (4ᵃ+1) / (4ᵃ−1) = −2
4ᵃ + 1 = −2(4ᵃ − 1), 4ᵃ + 1 = −2·4ᵃ + 2
3·4ᵃ = 1 ∴ 4ᵃ = 1/3
4ᵃ = 1/3이므로 4⁻ᵃ = 1/(4ᵃ) = 3
따라서 4ᵃ + 4⁻ᵃ = 1/3 + 3 = 10/3
(2ᵃ+2⁻ᵃ)/(2ᵃ−2⁻ᵃ) = −2에서 2ᵃ+2⁻ᵃ = −2(2ᵃ−2⁻ᵃ)
양변을 제곱하면 (2ᵃ+2⁻ᵃ)² = 4(2ᵃ−2⁻ᵃ)²
4ᵃ + 2 + 4⁻ᵃ = 4(4ᵃ − 2 + 4⁻ᵃ)
3(4ᵃ + 4⁻ᵃ) = 10 ∴ 4ᵃ + 4⁻ᵃ = 10/3
∴ 정답: ② 10/3
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 우변이 −2인데 부호를 놓치고 +2로 계산하는 경우.
교차 곱셈할 때 4ᵃ+1 = −2(4ᵃ−1)에서 우변 전개 시 부호에 특히 주의하세요.
실수 ② 4ᵃ = 1/3에서 4⁻ᵃ = −1/3으로 착각하는 경우.
4⁻ᵃ = 1/(4ᵃ) = 1/(1/3) = 3이지, 부호가 바뀌는 것이 아닙니다.
💡 꿀팁 – 양변 제곱 풀이법
4ᵃ + 4⁻ᵃ를 직접 묻는 문제라면 양변 제곱법이 더 빠를 수 있습니다.
(A+B)² = A² + 2 + B², (A−B)² = A² − 2 + B² (단, A = 2ᵃ, B = 2⁻ᵃ)
이 관계를 이용하면 4ᵃ를 구하지 않고도 4ᵃ + 4⁻ᵃ를 바로 구할 수 있습니다.