📌 aˣ+a⁻ˣ와 aˣ−a⁻ˣ 분수식에서 a²ˣ를 먼저 구하는 것이 핵심입니다!
이 문제는 (aˣ+a⁻ˣ)/(aˣ−a⁻ˣ) 꼴의 분수식에서 분모·분자에 aˣ를 곱해 a²ˣ의 값을 구한 뒤, a⁴ˣ까지 확장하는 유형입니다. a²ˣ만 구하면 a⁴ˣ = (a²ˣ)²로 바로 계산됩니다. 정답은 ⑤ 49입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 62번)
실수 x에 대하여 (aˣ+a⁻ˣ)/(aˣ−a⁻ˣ) = 4/3일 때, a⁴ˣ의 값을 구하는 문제입니다. (단, a > 0, a ≠ 1) 정답은 ⑤ 49입니다.
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※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
(aˣ+a⁻ˣ)/(aˣ−a⁻ˣ) = 4/3에서 좌변의 분모·분자에 각각 aˣ를 곱하면
aˣ(aˣ+a⁻ˣ) / aˣ(aˣ−a⁻ˣ) = (a²ˣ+1) / (a²ˣ−1) = 4/3
3(a²ˣ+1) = 4(a²ˣ−1)
3a²ˣ + 3 = 4a²ˣ − 4
따라서 a²ˣ = 7
a⁴ˣ = (a²ˣ)² = 7² = 49
∴ 정답: ⑤ 49
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 분모·분자에 aˣ를 곱한 후 정리할 때 부호를 틀리는 경우.
(a²ˣ+1)/(a²ˣ−1) = 4/3을 교차 곱셈할 때 부호에 주의하세요.
실수 ② a²ˣ = 7을 구한 뒤 a⁴ˣ = 2 × 7 = 14로 잘못 계산하는 경우.
a⁴ˣ = (a²ˣ)² = 7²이지, 2 × a²ˣ가 아닙니다.
💡 꿀팁 – 분모·분자 aˣ 곱하기 → a²ˣ에 대한 일차방정식
aˣ ± a⁻ˣ 분수식은 분모·분자에 aˣ를 곱하면 a²ˣ에 대한 일차방정식으로 변합니다.
이 패턴만 기억하면 62~66번까지 동일한 방법으로 풀 수 있습니다.
a²ˣ 값을 구한 뒤 → a⁴ˣ = (a²ˣ)², a⁶ˣ = (a²ˣ)³ 등으로 확장하세요.