📌 x²−1 안에서 완전제곱식을 찾는 것이 승부처입니다!
이 문제는 59번의 패턴을 분모 2가 포함된 형태로 확장한 최다빈출 왕중요 TOUGH 유형입니다. x = (3^(1/4)+3^(-1/4))/2를 제곱하면 x² = (3^(1/2)+2+3^(-1/2))/4이므로 x²−1 = (3^(1/2)−2+3^(-1/2))/4 = ((3^(1/4)−3^(-1/4))/2)². 따라서 √(x²−1) = (3^(1/4)−3^(-1/4))/2이고, x+√(x²−1) = 3^(1/4). 이를 4제곱하면 (3^(1/4))⁴ = 3. 정답은 3입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 60번 · 최다빈출 왕중요 · TOUGH)
x = (3^(1/4)+3^(-1/4))/2일 때, (x+√(x²−1))⁴의 값을 구하는 문제입니다. x²−1이 완전제곱식이 되는 것을 이용하여 x+√(x²−1) = 3^(1/4)로 정리합니다. 정답은 3입니다.
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※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
x = (3^(1/4)+3^(-1/4))/2의 양변을 제곱하면
x² = ((3^(1/4)+3^(-1/4))/2)² = (3^(1/2)+2+3^(-1/2))/4
√(x²−1) = √((3^(1/2)+2+3^(-1/2))/4 − 1)
= √((3^(1/2)−2+3^(-1/2))/4)
= √(((3^(1/4)−3^(-1/4))/2)²)
= (3^(1/4)−3^(-1/4))/2
따라서 x+√(x²−1) = (3^(1/4)+3^(-1/4))/2 + (3^(1/4)−3^(-1/4))/2
= 2·3^(1/4)/2 = 3^(1/4)
(x+√(x²−1))⁴ = (3^(1/4))⁴ = 3
∴ 정답: 3
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① x²을 구할 때 분모 2²=4를 놓치는 경우.
x = (A+B)/2이므로 x² = (A+B)²/4입니다. 분모를 빠뜨리면 x²−1 계산이 틀어집니다.
실수 ② x²−1을 분수 형태로 계산할 때 통분 실수.
(3^½+2+3^(-½))/4 − 1 = (3^½+2+3^(-½)−4)/4 = (3^½−2+3^(-½))/4입니다.
실수 ③ 최종 답에서 4제곱을 잊는 경우.
x+√(x²−1) = 3^(1/4)이고, 문제는 (x+√(x²−1))⁴를 구하라고 했습니다. (3^(1/4))⁴ = 3입니다.
💡 꿀팁 – 58·59·60번 통합 정리
세 문제를 관통하는 핵심 원리를 정리하면:
공통 구조: x = (A±B)/n, AB = 1일 때
① x² 구하기 → 제곱 전개
② x²±k가 ((A∓B)/n)² 완전제곱식이 되는 k 찾기
③ √(x²±k) = (A∓B)/n → x와 더하면 분수의 분자에서 B가 소거 → 2A/n만 남음
④ 필요하면 거듭제곱하여 최종 답
이 패턴을 완벽히 익히면 cosh/sinh 쌍곡선함수와 같은 대학 수학 개념의 기초가 됩니다!