📌 58번이 “차 → +4″였다면, 이번엔 “합 → −4” 패턴입니다!
이 문제는 x = 2^(1/4)+2^(-1/4) (합)에서 √(x²−4)를 구하는 유형입니다. x를 제곱하면 x² = 2^(1/2)+2+2^(-1/2)이므로 x²−4 = 2^(1/2)−2+2^(-1/2) = (2^(1/4)−2^(-1/4))². 따라서 √(x²−4) = 2^(1/4)−2^(-1/4)이고, √(x²−4)+x = 2×2^(1/4) = 2^(5/4) = 2ᵏ에서 k = 5/4. 정답은 ③ 5/4입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 59번 · NORMAL)
x = 2^(1/4)+2^(-1/4)일 때, √(x²−4)+x = 2ᵏ를 만족하는 상수 k의 값을 구하는 문제입니다. 정답은 ③입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
x = 2^(1/4)+2^(-1/4)의 양변을 제곱하면
x² = (2^(1/4)+2^(-1/4))² = 2^(1/2)+2+2^(-1/2)
√(x²−4) = √(2^(1/2)+2+2^(-1/2)−4) = √(2^(1/2)−2+2^(-1/2))
= √((2^(1/4)−2^(-1/4))²) = 2^(1/4)−2^(-1/4)
(∵ 2^(1/4) > 2^(-1/4) > 0이므로 양수)
따라서 √(x²−4)+x = (2^(1/4)−2^(-1/4))+(2^(1/4)+2^(-1/4))
= 2×2^(1/4) = 2^(5/4) 이므로 k = 5/4
∴ 정답: ③ 5/4
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① x²−4를 계산할 때 +2에서 4를 빼면 −2가 되는 것을 놓치는 경우.
x² = 2^½+2+2^(-½)이므로 x²−4 = 2^½−2+2^(-½)입니다.
실수 ② 2×2^(1/4) = 2^(5/4)로 정리할 때 지수 계산 실수.
2 = 2¹이고 2¹×2^(1/4) = 2^(1+1/4) = 2^(5/4)입니다.
실수 ③ 58번과 혼동하여 +4를 써야 하는지 −4를 써야 하는지 헷갈리는 경우.
합(+) → −4, 차(−) → +4입니다. x가 합인지 차인지 먼저 확인하세요.
💡 꿀팁 – 58번 vs 59번 비교 정리
58번과 59번을 나란히 비교하면 패턴이 보입니다.
58번: x = A−B → x²+4 = (A+B)² → √(x²+4)+x = 2A
59번: x = A+B → x²−4 = (A−B)² → √(x²−4)+x = 2A
두 경우 모두 최종 결과는 2A (= 큰 항의 2배)입니다!
이 패턴을 기억하면 계산 없이 바로 답을 예측할 수 있습니다.