📌 √(x²+4) 안에 x²을 대입하면 완전제곱식이 숨어 있습니다!
이 문제는 x² 을 먼저 구한 뒤 √(x²+4)를 완전제곱식으로 변환하는 학교 기출 대표 유형입니다. x = 3^(1/2)−3^(-1/2)을 제곱하면 x² = 3+3⁻¹−2이므로 x²+4 = 3+3⁻¹+2 = (3^(1/2)+3^(-1/2))². 따라서 √(x²+4) = 3^(1/2)+3^(-1/2)이고, √(x²+4)+x = (3^(1/2)+3^(-1/2))+(3^(1/2)−3^(-1/2)) = 2·3^(1/2) = 2√3. 정답은 ⑤ 2√3입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 58번 · 학교기출 대표유형)
x = 3^(1/2)−3^(-1/2)일 때, √(x²+4)+x의 값을 구하는 문제입니다. x²을 구한 뒤 x²+4가 완전제곱식이 되는 것을 이용합니다. 정답은 ⑤입니다.
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※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
x = 3^(1/2)−3^(-1/2)의 양변을 제곱하면
x² = (3^(1/2)−3^(-1/2))² = 3+3⁻¹−2
√(x²+4) = √((3+3⁻¹−2)+4) = √(3+3⁻¹+2)
= √((3^(1/2)+3^(-1/2))²) = 3^(1/2)+3^(-1/2)
따라서 √(x²+4)+x = (3^(1/2)+3^(-1/2))+(3^(1/2)−3^(-1/2))
= 2×3^(1/2) = 2√3
∴ 정답: ⑤ 2√3
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① x² = (A−B)² = A²−2AB+B²에서 −2AB 부분을 +2AB로 쓰는 실수.
차의 제곱이므로 가운데 항은 −2입니다.
실수 ② x²+4를 계산한 뒤 완전제곱식으로 인식하지 못하는 경우.
(A−B)²+4 = A²−2AB+B²+4 = A²+2AB+B² = (A+B)²이 되는 패턴을 기억하세요. (AB = 1일 때)
실수 ③ √ 안의 완전제곱식을 풀 때 부호 확인 부주의.
3^(1/2)+3^(-1/2) > 0이므로 √((3^½+3^(-½))²) = 3^½+3^(-½)입니다 (절대값 불필요).
💡 꿀팁 – √(x²±4) 유형 핵심 패턴
x = A−B (AB = 1)일 때:
① x² = A²+B²−2 → x²+4 = A²+B²+2 = (A+B)² → √(x²+4) = A+B
x = A+B (AB = 1)일 때:
② x² = A²+B²+2 → x²−4 = A²+B²−2 = (A−B)² → √(x²−4) = |A−B|
즉 “차 → +4, 합 → −4”가 완전제곱식을 만드는 열쇠입니다!