📌 조건식에서 a⁶ = 3을 뽑아내는 과정이 핵심입니다!
이 문제는 분모·분자에 적절한 거듭제곱을 곱해 음의 지수를 제거한 뒤, 공통인수를 약분하여 aⁿ의 값을 먼저 구하는 TOUGH 유형입니다. 첫 번째 조건식에 a⁵를 곱하면 a⁶ = 3임을 알 수 있고, 두 번째 식에도 같은 전략으로 a⁶을 곱하면 분자·분모가 약분되어 a⁸만 남습니다. a⁸ = (a⁶)^(4/3) = 3^(4/3) = ∛3⁴. 정답은 ⑤ ∛3⁴입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 50번 · TOUGH)
(a+a⁵)/(a⁻¹+a⁻⁵) = 3 일 때 (단, a > 0),
(a²+a⁴+a⁶)/(a⁻²+a⁻⁴+a⁻⁶)의 값을 구하는 문제입니다.
분모·분자에 같은 거듭제곱을 곱해 음의 지수를 제거하고, 공통인수를 약분하여 aⁿ 꼴로 정리하는 것이 핵심입니다.
정답은 ⑤입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
(a+a⁵)/(a⁻¹+a⁻⁵) = 3의 좌변의 분모, 분자에 각각 a⁵를 곱하면
a⁵(a+a⁵) / a⁵(a⁻¹+a⁻⁵) = (a⁶+a¹⁰) / (a⁴+1)
= a⁶(1+a⁴) / (a⁴+1) = a⁶
∴ a⁶ = 3
따라서 (a²+a⁴+a⁶)/(a⁻²+a⁻⁴+a⁻⁶)의 분모, 분자에 각각 a⁶을 곱하면
a⁶(a²+a⁴+a⁶) / a⁶(a⁻²+a⁻⁴+a⁻⁶)
= (a⁸+a¹⁰+a¹²) / (a⁴+a²+1)
= a⁸(1+a²+a⁴) / (a⁴+a²+1) = a⁸
a⁸ = (a⁶)^(4/3) = 3^(4/3) = ∛3⁴
∴ 정답: ⑤ ∛3⁴
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① STEP A에서 “무엇을 곱해야 할지” 감을 못 잡는 경우.
핵심 원칙: 분모의 가장 작은 지수의 절대값만큼 곱한다. 분모의 최소 지수가 a⁻⁵이므로 a⁵를 곱하면 분모의 모든 음의 지수가 양수가 됩니다.
실수 ② STEP B에서 a⁸ = (a⁶)^(4/3)을 계산할 때 지수 실수.
a⁸ = a^(6×4/3)이므로 6×4/3 = 8이 맞는지 확인하세요. 즉, (a⁶)^(4/3) = a^(6·4/3) = a⁸ ✓
실수 ③ 3^(4/3)을 ∛3⁴로 변환할 때 혼동하는 경우.
3^(4/3) = (3⁴)^(1/3) = ∛81 = ∛3⁴입니다. 3^(4/3) ≠ 3⁴ᐟ³(= 3×3^(1/3))이 아님에 주의하세요.
💡 꿀팁 – “분모·분자 곱하기 → 약분 → aⁿ” 2단계 전략
이 유형은 항상 같은 2단계 전략으로 풀립니다.
① 조건식에서 분모·분자에 aᵏ를 곱해 aⁿ = (상수)를 구한다
② 구하는 식에도 같은 전략을 적용하면 aᵐ만 남는다
③ aᵐ = (aⁿ)^(m/n) = (상수)^(m/n)으로 최종 답을 구한다
이 문제에서는 ①에서 a⁶ = 3, ②에서 a⁸이 남고, ③에서 a⁸ = 3^(4/3) = ∛3⁴입니다.
핵심은 “곱한 후 공통인수가 약분되어 aⁿ만 남는다”는 것을 확신하고 계산하는 것입니다.