📌 x+y 와 x−y 를 전개했을 때 세제곱 꼴이 보이지 않는다면? 인수분해 방향을 바꿔보세요!
이 문제는 세제곱 전개 공식 (a+b)³ 과 (a−b)³ 의 역방향 활용이 핵심인 TOUGH 유형입니다. x = a + 3a^(1/3)b^(2/3) 과 y = b + 3a^(2/3)b^(1/3) 을 더하고 빼면 각각 (a^(1/3)+b^(1/3))³ 과 (a^(1/3)−b^(1/3))³ 로 변환됩니다. 이후 (x+y)^(2/3) 과 (x−y)^(2/3) 을 전개하면 주어진 조건 a^(2/3)+b^(2/3)=50 으로 바로 귀결됩니다. 정답은 100입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 47번 · TOUGH)
a > 0, b > 0 일 때, a^(2/3) + b^(2/3) = 50 이고
x = a + 3a^(1/3)b^(2/3), y = b + 3a^(2/3)b^(1/3)
을 만족할 때, (x+y)^(2/3) + (x−y)^(2/3) 의 값을 구하시오.
주어진 x, y 의 구조 속에 세제곱 전개 공식이 숨어 있음을 파악하는 것이 핵심입니다.
정답은 100입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
x + y = (a + 3a^(1/3)b^(2/3)) + (b + 3a^(2/3)b^(1/3))
= a + 3a^(2/3)b^(1/3) + 3a^(1/3)b^(2/3) + b
※ 세제곱 전개 공식: (p+q)³ = p³ + 3p²q + 3pq² + q³
→ p = a^(1/3), q = b^(1/3) 으로 놓으면
x + y = (a^(1/3) + b^(1/3))³
x − y = (a + 3a^(1/3)b^(2/3)) − (b + 3a^(2/3)b^(1/3))
= a − 3a^(2/3)b^(1/3) + 3a^(1/3)b^(2/3) − b
※ (p−q)³ = p³ − 3p²q + 3pq² − q³
→ x − y = (a^(1/3) − b^(1/3))³
(x+y)^(2/3) = [(a^(1/3)+b^(1/3))³]^(2/3) = (a^(1/3)+b^(1/3))²
= a^(2/3) + 2(ab)^(1/3) + b^(2/3)
(x−y)^(2/3) = [(a^(1/3)−b^(1/3))³]^(2/3) = (a^(1/3)−b^(1/3))²
= a^(2/3) − 2(ab)^(1/3) + b^(2/3)
(x+y)^(2/3) + (x−y)^(2/3)
= (a^(2/3) + 2(ab)^(1/3) + b^(2/3)) + (a^(2/3) − 2(ab)^(1/3) + b^(2/3))
= 2(a^(2/3) + b^(2/3))
= 2 × 50 = 100
∴ 정답: 100
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① x + y 를 전개할 때 항의 순서를 바꾸지 않아 세제곱 공식 패턴을 못 찾는 경우.
a^(1/3) 와 b^(1/3) 을 p, q 로 치환하면 훨씬 쉽게 구조가 보입니다.
실수 ② [(a^(1/3)+b^(1/3))³]^(2/3) 계산 시 지수를 잘못 더하는 경우.
(3) × (2/3) = 2 임을 확인하세요. 결과는 (a^(1/3)+b^(1/3))² 입니다.
실수 ③ 두 항의 합산 시 중간 항 2(ab)^(1/3) 이 상쇄됨을 놓치는 경우.
더하기와 빼기로 두 제곱식을 합산하면 교차항이 정확히 소거됩니다.
💡 꿀팁 – TOUGH 유형 접근 전략
이 문제처럼 조건식에 유리수 지수가 가득한 TOUGH 유형 공략법:
① 치환 먼저! a^(1/3) = p, b^(1/3) = q 로 놓으면 주어진 식이 익숙한 공식으로 변환됩니다.
② 곱셈 공식 역방향 탐색! p³+3p²q+3pq²+q³ = (p+q)³ 패턴인지 확인합니다.
③ 구하는 식이 조건식과 연결되는지 확인! 불필요한 항이 상쇄되면 조건을 바로 대입할 수 있습니다.
이 3단계 체크만으로 TOUGH 지수 유형의 80%는 해결할 수 있습니다.