“
두 집합이 서로 같을 조건을 이용하는 서술형 문제입니다. 한 집합이 방정식의 해로 주어졌습니다.
접근법:
1. [1단계] A=B이므로, B의 원소 -2는 A의 원소, 즉 삼차방정식의 해입니다. x=-2를 대입하여 a값을 구합니다.
2. [2단계] a값을 이용해 삼차방정식을 완성하고, 조립제법 등으로 모든 해를 구하여 집합 A를 확정합니다. A={-2, -1, 1}
3. [3단계] B=A가 되어야 하므로, 집합 B의 나머지 두 원소 b+1, b+3이 각각 -1과 1이 되어야 합니다. 이를 연립하여 b값을 구하고 ab를 계산합니다.
주의할 점:
방정식의 해를 구하는 과정과 집합의 원소를 비교하는 과정을 명확히 구분하여 서술해야 합니다.
”
두 집합이 같을 조건과 방정식의 해
“
A ⊂ X ⊂ B이고 X가 A나 B와는 같지 않다는 조건을 만족하는 집합 X의 개수를 찾는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 집합 A와 B를 각각 원소나열법으로 나타냅니다.
2. [2단계] A⊂X⊂B를 만족하는 집합 X의 개수는 2^(n(B)-n(A)) 공식을 이용해 구합니다.
3. [3단계] 2단계에서 구한 개수에는 X=A인 경우와 X=B인 경우가 포함되어 있으므로, 문제의 조건(X≠A, X≠B)에 따라 2개를 빼줍니다.
주의할 점:
737번 문제와 동일한 유형입니다. 각 단계의 논리적 근거를 명확하게 서술하는 것이 중요합니다.
”
A⊂X⊂B이고 진부분집합인 X의 개수 구하기
“
적어도 한 개의 소수를 원소로 갖는 부분집합의 개수를 여사건을 이용하여 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 집합 A를 원소나열법으로 나타내고, 전체 부분집합의 개수를 구합니다.
2. [2단계] 여사건인 ‘소수를 원소로 하나도 갖지 않는’ 부분집합의 개수를 구합니다. 이는 A의 원소 중 소수가 아닌 것들로만 이루어진 부분집합의 개수와 같습니다.
3. [3단계] (전체 부분집합 개수) – (여사건의 부분집합 개수)를 계산하여 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
743번 문제와 동일한 유형입니다. 여사건의 개념을 이용하여 풀이 과정을 논리적으로 서술하는 것이 핵심입니다.
”
적어도 한 개의 소수를 갖는 부분집합 찾기
“
특정 조건을 만족하는 부분집합들의 모든 원소의 합을 구하는 문제입니다. 760번의 응용 유형입니다.
접근법:
1. (집합 X의 개수) 먼저 조건을 만족하는 집합 X가 몇 개인지 구합니다. X는 {1,3,5}를 제외한 나머지 원소 {2,4,6}으로 만들 수 있는 부분집합에 {1}을 추가한 형태입니다. 따라서 2³ = 8개 입니다.
2. (각 원소가 더해지는 횟수)
– 1은 모든 8개의 집합 X에 반드시 포함됩니다.
– 2가 포함되는 경우는, {1}을 포함하고 {3,5}는 제외하며, 2를 반드시 포함하는 부분집합의 개수와 같습니다. (2³⁻¹ = 4개)
– 4와 6도 마찬가지로 각각 4번씩 더해집니다.
3. 모든 합 = (1×8) + (3×0) + (5×0) + (2×4) + (4×4) + (6×4)
주의할 점:
주어진 조건(포함/불포함)을 정확히 반영하여 각 원소가 최종적으로 몇 번이나 합산되는지를 계산해야 합니다.
”
특정 조건의 부분집합 원소 총합 구하기
“
공집합을 제외한 진부분집합들의 원소 총합을 이용해 미지수를 찾는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 공집합을 제외한 진부분집합의 개수 n = 2⁴ – 2 = 14 입니다.
2. [2단계] 집합 A의 모든 부분집합(16개)의 원소 총합을 구하는 공식을 이용합니다. (각 원소) × (그 원소를 포함하는 부분집합의 개수). 총합 = 8(-1+0+1+a) = 8a.
3. 문제에서 요구하는 합은 이 총합에서 공집합(합=0)과 집합 A 자신(합=a)을 제외한 것이므로, 8a – a = 7a 입니다.
4. 7a=42 라는 방정식을 풀어 a값을 구하고, n+a를 계산합니다.
주의할 점:
765번 문제와 유사하나, A의 원소 중 -1, 0, 1이 있어 합 계산이 조금 다릅니다. 원소의 총합을 구하는 원리를 정확히 서술해야 합니다.
”
진부분집합들의 원소 총합과 미지수 찾기
“
모든 부분집합의 원소의 곱을 다시 모두 곱하는 문제입니다.
접근법:
1. 760번 문제와 유사하게, 각 원소가 최종 곱셈에서 총 몇 번 곱해지는지(지수가 얼마인지)를 생각합니다.
2. 특정 원소(예: 1)가 곱해지는 횟수는, **1을 반드시 포함하는 부분집합의 개수**와 같습니다.
3. 집합 A의 원소는 4개이므로, 1을 반드시 포함하는 부분집합의 개수는 2⁴⁻¹ = 8개 입니다.
4. 마찬가지로, 2, 4, 8도 각각 8번씩 곱해집니다.
5. 따라서 최종 곱은 1⁸ × 2⁸ × 4⁸ × 8⁸ 입니다. 이 값을 지수법칙을 이용해 2의 거듭제곱으로 표현하고 지수 k를 구합니다.
주의할 점:
문제에서 ‘공집합이 아닌’ 부분집합이라고 했지만, 공집합은 원소가 없어 곱에 영향을 주지 않으므로, 전체 부분집합을 기준으로 계산해도 결과는 같습니다.
”
모든 부분집합 원소의 총곱 구하기
“
세 자연수를 원소로 하는 집합과, 그 원소들의 합으로 만들어진 새로운 집합의 원소의 합을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 B의 원소를 a,b,c를 이용해 나열합니다. B = {2a, a+b, a+c, 2b, b+c, 2c}.
2. a3. (a+c=2b인 경우) B의 원소는 5개가 되고, 모든 원소의 합을 식으로 나타내어 50과 같다고 놓고 풉니다. a+c=2b는 세 수가 등차수열을 이룬다는 의미입니다.
4. (a+c≠2b인 경우) B의 원소는 6개가 되고, 모든 원소의 합을 식으로 나타내어 50과 같다고 놓고 풉니다.
5. 각 경우에서 조건을 만족하는 자연수 순서쌍 (a,b,c)의 개수를 셉니다.
주의할 점:
집합 B의 원소가 중복될 가능성(a+c = 2b)을 고려하여 경우를 나누는 것이 이 문제의 핵심입니다.
”
세 자연수 원소 집합과 그 합으로 만든 집합
“
원소의 개수가 특정 값(3개)으로 정해진 부분집합들의 모든 원소의 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 760번과 동일하게, 각 원소가 총 몇 번이나 더해지는지를 셉니다.
2. 특정 원소(예: 1)가 포함되는 3개짜리 부분집합의 개수는, **1을 반드시 포함**하고 나머지 4개의 원소 {2,3,4,5} 중에서 **2개를 추가로 선택**하는 경우의 수와 같습니다. (₄C₂)
3. 모든 원소(1,2,3,4,5)에 대해 이 규칙은 동일하게 적용됩니다.
4. 따라서 모든 원소의 총합은 (1+2+3+4+5) × (₄C₂) 입니다.
주의할 점:
조합(Combination)을 이용하여 특정 원소가 포함되는 부분집합의 개수를 정확하게 세는 것이 핵심입니다.
”
원소 개수가 정해진 부분집합의 원소 총합
“
부분집합의 최대 원소와 최소 원소의 합이 특정 값을 만족하는 집합의 개수를 세는 문제입니다.
접근법:
1. 최대 원소와 최소 원소의 합 S(X)가 8이 되는 경우의 쌍을 모두 찾습니다. {1,7}, {2,6}, {3,5}.
2. (경우 1: 최소=1, 최대=7) X는 1과 7을 반드시 포함하고, 그 사이의 원소 {2,3,4,5,6}으로는 자유롭게 부분집합을 만듭니다. (2⁵개). 이들은 모두 n(X)≥2를 만족.
3. (경우 2: 최소=2, 최대=6) X는 2와 6을 반드시 포함하고, 그 사이의 원소 {3,4,5}로 부분집합을 만듭니다. (2³개).
4. (경우 3: 최소=3, 최대=5) X는 3과 5를 반드시 포함하고, 그 사이의 원소 {4}로 부분집합을 만듭니다. (2¹개).
5. 각 경우에서 나온 집합의 개수를 모두 더합니다.
주의할 점:
조건을 만족하는 최대/최소 원소 쌍을 기준으로 경우를 나누고, 그 사이의 원소들로 만들 수 있는 부분집합의 개수를 세는 것이 체계적인 풀이법입니다.
”
최대/최소 원소의 합이 일정할 때 집합 개수
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홀수인 원소가 한 개 이상 속해 있는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다. 여사건을 이용합니다.
접근법:
1. 여사건은 ‘홀수 원소를 하나도 포함하지 않는’, 즉 ‘모든 원소가 짝수’인 부분집합입니다.
2. (전체 경우) 집합 A의 모든 부분집합의 개수를 구합니다.
3. (여사건의 경우) 집합 A의 짝수 원소 {2, 4}로만 만들 수 있는 부분집합의 개수를 구합니다.
4. (전체 개수) – (여사건의 개수)를 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
‘적어도 하나’ 또는 ‘~이상’ 이라는 표현은 여사건을 활용하라는 강력한 힌트입니다.
”
홀수 원소가 한 개 이상인 부분집합의 개수
