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마플시너지공통수학2풀이해설0761고퀄리티 풀이영상제공0761 특정 조건의 부분집합 원소 총합 구하기

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[문제 761] 핵심 개념 및 풀이 전략

특정 조건을 만족하는 부분집합들의 모든 원소의 합을 구하는 문제입니다. 760번의 응용 유형입니다.

접근법:
1. (집합 X의 개수) 먼저 조건을 만족하는 집합 X가 몇 개인지 구합니다. X는 {1,3,5}를 제외한 나머지 원소 {2,4,6}으로 만들 수 있는 부분집합에 {1}을 추가한 형태입니다. 따라서 2³ = 8개 입니다.
2. (각 원소가 더해지는 횟수)
– 1은 모든 8개의 집합 X에 반드시 포함됩니다.
– 2가 포함되는 경우는, {1}을 포함하고 {3,5}는 제외하며, 2를 반드시 포함하는 부분집합의 개수와 같습니다. (2³⁻¹ = 4개)
– 4와 6도 마찬가지로 각각 4번씩 더해집니다.
3. 모든 합 = (1×8) + (3×0) + (5×0) + (2×4) + (4×4) + (6×4)

주의할 점:
주어진 조건(포함/불포함)을 정확히 반영하여 각 원소가 최종적으로 몇 번이나 합산되는지를 계산해야 합니다.

”

특정 조건의 부분집합 원소 총합 구하기

마플시너지공통수학2풀이해설0777고퀄리티 풀이영상제공0777 진부분집합들의 원소 총합과 미지수 찾기

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[문제 777] 핵심 개념 및 풀이 전략

공집합을 제외한 진부분집합들의 원소 총합을 이용해 미지수를 찾는 서술형 문제입니다.

접근법:
1. [1단계] 공집합을 제외한 진부분집합의 개수 n = 2⁴ – 2 = 14 입니다.
2. [2단계] 집합 A의 모든 부분집합(16개)의 원소 총합을 구하는 공식을 이용합니다. (각 원소) × (그 원소를 포함하는 부분집합의 개수). 총합 = 8(-1+0+1+a) = 8a.
3. 문제에서 요구하는 합은 이 총합에서 공집합(합=0)과 집합 A 자신(합=a)을 제외한 것이므로, 8a – a = 7a 입니다.
4. 7a=42 라는 방정식을 풀어 a값을 구하고, n+a를 계산합니다.

주의할 점:
765번 문제와 유사하나, A의 원소 중 -1, 0, 1이 있어 합 계산이 조금 다릅니다. 원소의 총합을 구하는 원리를 정확히 서술해야 합니다.

”

진부분집합들의 원소 총합과 미지수 찾기

마플시너지공통수학2풀이해설0762고퀄리티 풀이영상제공0762 모든 부분집합 원소의 총곱 구하기

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[문제 762] 핵심 개념 및 풀이 전략

모든 부분집합의 원소의 곱을 다시 모두 곱하는 문제입니다.

접근법:
1. 760번 문제와 유사하게, 각 원소가 최종 곱셈에서 총 몇 번 곱해지는지(지수가 얼마인지)를 생각합니다.
2. 특정 원소(예: 1)가 곱해지는 횟수는, **1을 반드시 포함하는 부분집합의 개수**와 같습니다.
3. 집합 A의 원소는 4개이므로, 1을 반드시 포함하는 부분집합의 개수는 2⁴⁻¹ = 8개 입니다.
4. 마찬가지로, 2, 4, 8도 각각 8번씩 곱해집니다.
5. 따라서 최종 곱은 1⁸ × 2⁸ × 4⁸ × 8⁸ 입니다. 이 값을 지수법칙을 이용해 2의 거듭제곱으로 표현하고 지수 k를 구합니다.

주의할 점:
문제에서 ‘공집합이 아닌’ 부분집합이라고 했지만, 공집합은 원소가 없어 곱에 영향을 주지 않으므로, 전체 부분집합을 기준으로 계산해도 결과는 같습니다.

”

모든 부분집합 원소의 총곱 구하기

마플시너지공통수학2풀이해설0778고퀄리티 풀이영상제공0778 세 자연수 원소 집합과 그 합으로 만든 집합

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[문제 778] 핵심 개념 및 풀이 전략

세 자연수를 원소로 하는 집합과, 그 원소들의 합으로 만들어진 새로운 집합의 원소의 합을 이용하는 문제입니다.

접근법:
1. 집합 B의 원소를 a,b,c를 이용해 나열합니다. B = {2a, a+b, a+c, 2b, b+c, 2c}.
2. a3. (a+c=2b인 경우) B의 원소는 5개가 되고, 모든 원소의 합을 식으로 나타내어 50과 같다고 놓고 풉니다. a+c=2b는 세 수가 등차수열을 이룬다는 의미입니다.
4. (a+c≠2b인 경우) B의 원소는 6개가 되고, 모든 원소의 합을 식으로 나타내어 50과 같다고 놓고 풉니다.
5. 각 경우에서 조건을 만족하는 자연수 순서쌍 (a,b,c)의 개수를 셉니다.

주의할 점:
집합 B의 원소가 중복될 가능성(a+c = 2b)을 고려하여 경우를 나누는 것이 이 문제의 핵심입니다.

”

세 자연수 원소 집합과 그 합으로 만든 집합

마플시너지공통수학2풀이해설0763고퀄리티 풀이영상제공0763 원소 개수가 정해진 부분집합의 원소 총합

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[문제 763] 핵심 개념 및 풀이 전략

원소의 개수가 특정 값(3개)으로 정해진 부분집합들의 모든 원소의 합을 구하는 문제입니다.

접근법:
1. 760번과 동일하게, 각 원소가 총 몇 번이나 더해지는지를 셉니다.
2. 특정 원소(예: 1)가 포함되는 3개짜리 부분집합의 개수는, **1을 반드시 포함**하고 나머지 4개의 원소 {2,3,4,5} 중에서 **2개를 추가로 선택**하는 경우의 수와 같습니다. (₄C₂)
3. 모든 원소(1,2,3,4,5)에 대해 이 규칙은 동일하게 적용됩니다.
4. 따라서 모든 원소의 총합은 (1+2+3+4+5) × (₄C₂) 입니다.

주의할 점:
조합(Combination)을 이용하여 특정 원소가 포함되는 부분집합의 개수를 정확하게 세는 것이 핵심입니다.

”

원소 개수가 정해진 부분집합의 원소 총합

마플시너지공통수학2풀이해설0779고퀄리티 풀이영상제공0779 최대/최소 원소의 합이 일정할 때 집합 개수

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[문제 779] 핵심 개념 및 풀이 전략

부분집합의 최대 원소와 최소 원소의 합이 특정 값을 만족하는 집합의 개수를 세는 문제입니다.

접근법:
1. 최대 원소와 최소 원소의 합 S(X)가 8이 되는 경우의 쌍을 모두 찾습니다. {1,7}, {2,6}, {3,5}.
2. (경우 1: 최소=1, 최대=7) X는 1과 7을 반드시 포함하고, 그 사이의 원소 {2,3,4,5,6}으로는 자유롭게 부분집합을 만듭니다. (2⁵개). 이들은 모두 n(X)≥2를 만족.
3. (경우 2: 최소=2, 최대=6) X는 2와 6을 반드시 포함하고, 그 사이의 원소 {3,4,5}로 부분집합을 만듭니다. (2³개).
4. (경우 3: 최소=3, 최대=5) X는 3과 5를 반드시 포함하고, 그 사이의 원소 {4}로 부분집합을 만듭니다. (2¹개).
5. 각 경우에서 나온 집합의 개수를 모두 더합니다.

주의할 점:
조건을 만족하는 최대/최소 원소 쌍을 기준으로 경우를 나누고, 그 사이의 원소들로 만들 수 있는 부분집합의 개수를 세는 것이 체계적인 풀이법입니다.

”

최대/최소 원소의 합이 일정할 때 집합 개수

마플시너지공통수학2풀이해설0764고퀄리티 풀이영상제공0764 A⊂X⊂B를 만족하는 집합들의 원소 총합

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[문제 764] 핵심 개념 및 풀이 전략

A ⊂ X ⊂ B를 만족하는 모든 집합 X들의 원소의 총합을 구하는 문제입니다.

접근법:
1. 집합 X는 {1,2}를 반드시 포함하고, B-A={4,8}의 원소를 추가로 가질 수 있습니다.
2. (고정 원소의 합) {1,2}는 모든 가능한 집합 X에 항상 포함됩니다. 집합 X의 개수는 2^(4-2)=4개 이므로, 1과 2는 각각 4번씩 더해집니다.
3. (선택 원소의 합) B-A={4,8}의 원소들이 각각 몇 번이나 더해지는지 셉니다. 4가 포함되는 경우는 {1,2,4}를 포함하는 X의 개수와 같으므로, 나머지 원소 {8}로 만들 수 있는 부분집합의 개수인 2¹=2번 입니다. 8도 마찬가지로 2번 더해집니다.
4. 모든 합 = (1×4 + 2×4) + (4×2 + 8×2)

주의할 점:
반드시 포함되는 원소와, 선택적으로 포함되는 원소를 나누어 각각이 총 몇 번씩 더해지는지를 계산해야 합니다.

”

A⊂X⊂B를 만족하는 집합들의 원소 총합

마플시너지공통수학2풀이해설0780고퀄리티 풀이영상제공0780 A⊂X⊂B와 n(B)가 주어질 때 순서쌍 개수

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[문제 780] 핵심 개념 및 풀이 전략

A ⊂ X ⊂ B 와 n(B)=3 이라는 두 조건을 동시에 만족하는 순서쌍 (A,X)의 개수를 구하는 문제입니다.

접근법:
1. 집합 B를 임의의 원소 3개를 갖는 {a,b,c}로 고정하고 생각합니다.
2. 집합 X는 B의 부분집합이므로, X가 될 수 있는 경우를 **X의 원소 개수**에 따라 나눕니다.
3. (n(X)=3) X=B인 경우 1가지. 이때 A는 X의 부분집합이므로 2³가지.
4. (n(X)=2) X가 될 수 있는 경우는 ₃C₂=3가지. 각각의 X에 대해 A는 X의 부분집합이므로 2²가지.
5. (n(X)=1), (n(X)=0) 도 같은 방식으로 계산합니다.
6. 모든 경우의 순서쌍 개수를 더합니다.

주의할 점:
이 문제는 B가 정해져 있지 않지만, n(B)=3이라는 조건만으로 B를 대표적인 집합으로 가정하고 풀 수 있습니다. X를 기준으로 경우를 나누는 것이 체계적입니다.

”

A⊂X⊂B와 n(B)가 주어질 때 순서쌍 개수

마플시너지공통수학2풀이해설0765고퀄리티 풀이영상제공0765 진부분집합들의 원소 총합과 미지수 찾기

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[문제 765] 핵심 개념 및 풀이 전략

공집합을 제외한 모든 진부분집합들의 원소의 총합을 이용해 미지수를 찾는 문제입니다.

접근법:
1. 먼저 집합 A의 모든 부분집합(2⁴=16개)의 원소 총합을 구합니다. 각 원소는 2⁴⁻¹ = 8번씩 포함되므로, 총합은 8(1+2+3+a) 입니다.
2. 문제에서 요구하는 합은 이 총합에서 **공집합(합=0)과 집합 A 자신(합=6+a)을 제외**한 것입니다.
3. 따라서, 8(6+a) – (0) – (6+a) = 7(6+a) = 42+7a 입니다.
4. 이 값이 91과 같다고 등식을 세워 a값을 구합니다.
5. n은 공집합을 제외한 진부분집합의 개수이므로 2⁴-2=14 입니다. 최종적으로 n+a를 계산합니다.

주의할 점:
문제에서 제외하라고 하는 부분집합(공집합, 진부분집합이 아닌 자기 자신)을 정확히 파악하고, 그들의 원소 합을 전체 합에서 빼주어야 합니다.

”

진부분집합들의 원소 총합과 미지수 찾기

마플시너지공통수학2풀이해설0766고퀄리티 풀이영상제공0766 각 부분집합의 최소 원소들의 총합 구하기

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[문제 766] 핵심 개념 및 풀이 전략

각 부분집합의 최소 원소들을 모두 더하는 문제입니다.

접근법:
1. 각 원소가 ‘최소 원소’로서 몇 번이나 선택되는지를 셉니다.
2. (1이 최소 원소인 경우) 1을 반드시 포함하고, 1보다 작은 원소는 없는 부분집합의 개수입니다. 이는 1을 제외한 나머지 원소 {2, 4, …, 64} (6개)로 만들 수 있는 부분집합의 개수인 2⁶과 같습니다.
3. (2가 최소 원소인 경우) 2를 반드시 포함하고, 1은 포함하지 않는 부분집합의 개수입니다. 이는 2와 1을 제외한 나머지 5개 원소로 만들 수 있는 부분집합의 개수인 2⁵와 같습니다.
4. 이와 같은 방식으로 각 원소에 대해 계산합니다.
5. 최종 합 = (1 × 2⁶) + (2 × 2⁵) + (4 × 2⁴) + … + (64 × 2⁰)

주의할 점:
최소 원소 문제는 ‘그 원소보다 작은 원소는 모두 제외’하는 조건이 숨어있다는 것을 파악하는 것이 핵심입니다.

”

각 부분집합의 최소 원소들의 총합 구하기