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조건제시법으로 주어진 두 집합의 교집합과 합집합의 원소를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 집합 A와 B를 각각 원소나열법으로 나타냅니다.
– A: 16의 양의 약수
– B: 24의 양의 약수
2. (A∩B): 두 집합에 공통으로 들어있는 원소, 즉 16과 24의 공약수를 찾습니다.
3. (A∪B): 두 집합에 들어있는 모든 원소를 중복 없이 나열합니다.
4. 각 보기의 원소가 A∩B 또는 A∪B에 속하는지 판별합니다.
주의할 점:
두 약수 집합의 교집합은 두 수의 ‘최대공약수의 약수’ 집합과 같다는 성질을 이용하면 더 빠르게 교집합을 구할 수 있습니다.
”
두 약수 집합의 교집합과 합집합 원소 찾기
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두 집합의 합집합과 교집합의 정보가 주어졌을 때, 원래 집합의 미지수 원소를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 정보 A∪B = {1,2,3,4,5,7} 와 A∩B = {2,5}를 벤 다이어그램으로 나타내면 각 영역의 원소를 파악하기 쉽습니다.
2. 교집합 {2,5}는 A와 B 모두에 포함됩니다.
3. A={2, a, 5} 이므로, 벤 다이어그램의 A-B 영역에는 원소 a가, B-A 영역에는 나머지 원소들이 들어가야 합니다.
4. 합집합의 원소 중 A와 B에 공통으로 있는 2, 5를 제외한 {1,3,4,7}은 A-B 또는 B-A에 속해야 합니다.
5. B={2, b-1, 5, c+2}와 A-B, B-A 영역의 원소를 비교하여 a, b, c 값을 추론합니다.
주의할 점:
벤 다이어그램을 활용하여 각 영역에 어떤 원소가 들어가야 하는지 시각적으로 정리하면 논리적인 실수를 줄일 수 있습니다.
”
합집합과 교집합 정보로 원래 집합 추론하기
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차집합(A-B)의 원소가 주어졌을 때, 원래 집합의 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. A-B = {3} 이라는 것은, 원소 3이 **A에는 속하지만 B에는 속하지 않음**을 의미합니다.
2. A={1, 3, a²} 이므로, 나머지 원소 1과 a²은 A-B에 속하지 않습니다. 이는 1과 a²이 **반드시 교집합(A∩B)**에 속해야 함을 의미합니다.
3. 따라서, B는 원소 1과 a²을 반드시 포함해야 합니다.
4. 집합 B={a, b, 4}와 비교하여, {1, a²} = {a, b} 또는 {a, 4} 또는 {b, 4} 등의 경우를 따져 a, b값을 결정합니다.
주의할 점:
차집합의 정의를 정확히 이해하는 것이 핵심입니다. A-B에 속하지 않는 A의 원소들은 모두 교집합에 속하게 됩니다.
”
차집합의 원소로 교집합의 원소 추론하기
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대칭차집합(A△B)을 구하는 문제입니다. 대칭차집합은 합집합에서 교집합을 뺀 것과 같습니다.
접근법:
1. 두 집합 A와 B를 각각 원소나열법으로 나타냅니다.
– A: 12 이하의 3의 양의 배수
– B: 12 이하의 소수
2. 두 집합의 합집합(A∪B)과 교집합(A∩B)을 각각 구합니다.
3. 대칭차집합은 (A∪B) – (A∩B) 입니다. 합집합에서 교집합의 원소를 제외한 나머지 원소들을 모두 나열합니다.
4. 모든 원소의 합을 계산합니다.
주의할 점:
대칭차집합은 (A-B)∪(B-A)로도 계산할 수 있습니다. 두 가지 정의를 모두 알아두면 편리합니다.
”
대칭차집합의 모든 원소의 합 구하기
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합집합과 교집합의 원소 합이 주어졌을 때, 각 집합의 원소 합을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합의 원소 합에 대한 중요한 공식 **S(A∪B) = S(A) + S(B) – S(A∩B)** 를 이용합니다.
2. 문제에서 S(A∪B) = 32, S(A∩B) = 6 이라고 주어졌습니다.
3. 공식에 값을 대입하면 S(A) + S(B) = 32 + 6 = 38 이라는 관계식을 얻을 수 있습니다.
4. S(A)와 S(B)를 각각 구하는 것이 아니라, 두 값의 합을 묻고 있으므로 38이 답이 됩니다.
주의할 점:
원소의 개수에 대한 공식 n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B) 와 동일한 구조가 원소의 합에도 적용된다는 점을 기억하는 것이 중요합니다.
”
합집합과 교집합 원소 합의 관계 이해하기
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두 집합의 교집합과 차집합의 정보가 주어졌을 때, 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. A∩B = {-2, 1} 이므로, -2와 1은 A와 B 모두의 원소입니다.
2. B-A = {3} 이므로, 3은 B의 원소이지만 A의 원소는 아닙니다.
3. 위의 정보들을 종합하면, 집합 B의 모든 원소를 알 수 있습니다. B = {-2, 1, 3}.
4. 집합 B={-2, 1, a} 와 비교하여 a값을 구합니다.
5. 이제 집합 A={-2, b, 1}과 B={-2, 1, 3}의 관계를 봅니다. 3은 A의 원소가 아니므로, b는 3이 될 수 없습니다. (문제 오류 가능성 있음 – 해설에서는 b가 A의 다른 원소를 나타냄)
주의할 점:
벤 다이어그램을 그려 교집합 영역에 {-2, 1}, B-A 영역에 {3}을 채워 넣으면 집합 B를 쉽게 확정할 수 있습니다.
”
교집합과 차집합 정보로 집합 원소 구하기
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합집합과 교집합의 정보를 이용해 원래 집합을 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. A∩B={-3, 2} 이므로, -3과 2는 A와 B 모두의 원소입니다.
2. A∪B={-3, -1, 0, 2, 4} 이므로, A와 B의 원소는 이 5개 안에서만 구성됩니다.
3. A-B = (A∪B) – B 입니다. 따라서 B의 모든 원소의 합이 2라는 조건을 이용해 B를 먼저 확정해야 합니다.
4. B는 -3과 2를 반드시 포함하므로, 나머지 원소들의 합이 2 – (-3+2) = 3이 되어야 합니다. 합집합의 남은 원소 {-1, 0, 4} 중에서 합이 3이 되는 조합은 {-1, 4} 입니다.
5. 따라서 B = {-3, 2, -1, 4} 입니다.
6. A-B = (A∪B) – B = {0} 이므로, A-B의 원소의 합은 0입니다.
주의할 점:
S(A∪B) = S(A) + S(B) – S(A∩B) 공식을 활용하거나, 벤 다이어그램을 그려 각 영역의 원소를 추론하는 방식으로 풀 수 있습니다.
”
합집합과 교집합 원소 합으로 집합 추론하기
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차집합(A-B)과 교집합의 정보를 이용해 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. A-B = {-1, 2} 이므로, -1과 2는 A에는 속하지만 B에는 속하지 않습니다.
2. A∩B = {0} 이므로, 0은 A와 B 모두에 속합니다.
3. 1, 2번 정보로부터 집합 A = {-1, 2, 0} 임을 알 수 있습니다.
4. 주어진 A = {-1, a-b, 2}와 비교하여 a-b=0, 즉 a=b 라는 관계식을 얻습니다.
5. 집합 B = {0, b-a, 2a-b} 입니다. -1과 2는 B에 속하지 않아야 합니다. 이 조건을 이용해 a, b값을 확정하고 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
각 집합 연산의 정의를 정확히 이해하고, 이를 통해 원소의 소속(포함/불포함)을 논리적으로 추론해야 합니다.
”
차집합과 교집합 정보로 미지수 값 찾기
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서로소인 두 집합의 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 집합 A와 B가 서로소라는 것은 **A∩B = ∅**, 즉 공통된 원소가 하나도 없다는 의미입니다.
2. 집합 A의 원소는 {1, 2, 3, 4} 입니다.
3. 집합 B는 k-3 ≤ x ≤ k+1 을 만족하는 정수입니다.
4. B가 A의 원소를 하나도 포함하지 않도록 수직선 위에 범위를 설정합니다.
– (경우 1) B의 범위가 A의 가장 작은 원소 1보다 작아야 합니다. (k+1 – (경우 2) B의 범위가 A의 가장 큰 원소 4보다 커야 합니다. (k-3 > 4)
5. 두 경우를 만족하는 k의 범위를 각각 구하고, 정수 k의 최댓값과 최솟값을 찾습니다.
주의할 점:
수직선을 이용하여 두 집합의 위치 관계를 시각적으로 파악하면 부등식을 세우기 용이합니다.
”
두 집합이 서로소일 조건으로 미지수 범위 찾기
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모든 부분집합의 원소의 곱을 다시 모두 곱하는 문제입니다.
접근법:
1. 760번 문제와 유사하게, 각 원소가 최종 곱셈에서 총 몇 번 곱해지는지(지수가 얼마인지)를 생각합니다.
2. 특정 원소(예: 1)가 곱해지는 횟수는, **1을 반드시 포함하는 부분집합의 개수**와 같습니다.
3. 집합 A의 원소는 4개이므로, 1을 반드시 포함하는 부분집합의 개수는 2⁴⁻¹ = 8개 입니다.
4. 마찬가지로, 2, 4, 8도 각각 8번씩 곱해집니다.
5. 따라서 최종 곱은 1⁸ × 2⁸ × 4⁸ × 8⁸ 입니다. 이 값을 지수법칙을 이용해 2의 거듭제곱으로 표현하고 지수 k를 구합니다.
주의할 점:
문제에서 ‘공집합이 아닌’ 부분집합이라고 했지만, 공집합은 원소가 없어 곱에 영향을 주지 않으므로, 전체 부분집합을 기준으로 계산해도 결과는 같습니다.
”
모든 부분집합 원소의 총곱 구하기
