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집합의 연산 법칙(분배법칙, 드모르간의 법칙 등)과 포함 관계를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. A⊂B 라는 포함 관계는 A-B=∅, A∩B=A, A∪B=B 등과 동치입니다.
2. 주어진 조건 (A∪B) ∩ (A-B)ᶜ = B 를 집합의 연산 법칙을 이용해 간단히 합니다.
– (A-B)ᶜ = (A∩Bᶜ)ᶜ = Aᶜ∪B
– (A∪B) ∩ (Aᶜ∪B) = (A∩Aᶜ) ∪ B = ∅ ∪ B = B
3. 주어진 식이 항상 성립하는 항등식임을 알 수 있습니다. 따라서 이 식만으로는 A와 B의 관계를 알 수 없습니다. (문제 오류 가능성 있음 – 해설에서는 A-B=∅로 유도함)
주의할 점:
해설 기준으로는, 주어진 식을 변형하여 A⊂B와 동치인 관계를 이끌어내고, 이를 만족하지 않는 보기를 찾는 문제입니다.
”
집합 연산 법칙과 포함 관계 이해하기
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교집합, 합집합, 여집합, 차집합의 기본 연산에 대한 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ) A-B=∅ 이면, A는 B에 포함됩니다 (A⊂B).
2. (ㄴ) 벤 다이어그램을 그려보면, A∩Bᶜ = A-B 이고, B∩Aᶜ = B-A 입니다. 두 영역은 일반적으로 같지 않습니다.
3. (ㄷ) (A∪B) – A = (A∪B) ∩ Aᶜ = (A∩Aᶜ) ∪ (B∩Aᶜ) = ∅ ∪ (B-A) = B-A 입니다.
4. (ㄹ) A-Bᶜ = A ∩ (Bᶜ)ᶜ = A∩B 입니다.
주의할 점:
각 보기의 연산을 벤 다이어그램으로 그리거나, 연산 법칙(A-B = A∩Bᶜ)을 이용하여 대수적으로 변환하여 참/거짓을 판별합니다.
”
집합의 기본 연산 법칙 참/거짓 판별하기
“
집합의 원소 중 소수의 개수로 새로운 함수 N(S)를 정의하고, 그 성질을 묻는 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. 전체집합 U={1,…,10}에서 소수는 {2,3,5,7} (4개), 비소수는 {1,4,6,8,9,10} (6개)입니다.
2. (ㄱ) S={2,3,4}에서 소수는 2,3이므로 N(S)=2 입니다.
3. (ㄴ) N(S)의 최댓값은 U에 포함된 모든 소수를 가질 때이므로 4입니다.
4. (ㄷ) N(S)=1인 집합 S는, **4개의 소수 중 하나를 선택**하고(₄C₁), **6개의 비소수들로 만들 수 있는 모든 부분집합**과 조합하여 만듭니다. 따라서 개수는 ₄C₁ × 2⁶ 입니다.
주의할 점:
N(S)=1 이라는 것은, 소수를 정확히 1개만 포함하고 비소수는 포함해도 되고 안해도 된다는 의미로 해석해야 합니다.
”
원소 중 소수의 개수로 정의된 함수 이해하기
“
차집합과 여집합의 관계, 그리고 드모르간의 법칙을 이용한 연산 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 집합 A-Bᶜ을 먼저 간단히 합니다.
– A – Bᶜ = A ∩ (Bᶜ)ᶜ = A∩B
2. 이제 문제는 (A∩B) ∪ (B-A) 를 간단히 하는 것으로 바뀝니다.
3. 벤 다이어그램을 그려보면, (A와 B의 교집합 영역)과 (B에만 속하는 영역)을 합치는 것이므로, 결과적으로 **집합 B**가 됩니다.
주의할 점:
복잡한 집합 연산은 벤 다이어그램을 그려 각 부분이 나타내는 영역을 색칠해보는 것이 가장 직관적이고 실수가 적습니다.
”
차집합과 여집합, 드모르간의 법칙 이해
“
각 부분집합의 최소 원소들을 모두 더하는 문제입니다.
접근법:
1. 각 원소가 ‘최소 원소’로서 몇 번이나 선택되는지를 셉니다.
2. (1이 최소 원소인 경우) 1을 반드시 포함하고, 1보다 작은 원소는 없는 부분집합의 개수입니다. 이는 1을 제외한 나머지 원소 {2, 4, …, 64} (6개)로 만들 수 있는 부분집합의 개수인 2⁶과 같습니다.
3. (2가 최소 원소인 경우) 2를 반드시 포함하고, 1은 포함하지 않는 부분집합의 개수입니다. 이는 2와 1을 제외한 나머지 5개 원소로 만들 수 있는 부분집합의 개수인 2⁵와 같습니다.
4. 이와 같은 방식으로 각 원소에 대해 계산합니다.
5. 최종 합 = (1 × 2⁶) + (2 × 2⁵) + (4 × 2⁴) + … + (64 × 2⁰)
주의할 점:
최소 원소 문제는 ‘그 원소보다 작은 원소는 모두 제외’하는 조건이 숨어있다는 것을 파악하는 것이 핵심입니다.
”
각 부분집합의 최소 원소들의 총합 구하기
“
766번 문제와 동일한 유형으로, 각 부분집합의 가장 작은 원소들의 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 각 원소가 ‘가장 작은 원소’로서 몇 번이나 선택되는지를 셉니다.
2. (1/16이 가장 작은 경우) 1/16을 반드시 포함하고, 그보다 작은 원소는 없는(이 경우 해당 없음) 부분집합입니다. 나머지 4개 원소로 만들 수 있는 부분집합의 개수인 2⁴ 번 등장합니다.
3. (1/8이 가장 작은 경우) 1/8을 반드시 포함하고, 1/16은 포함하지 않는 부분집합입니다. 나머지 3개 원소로 만들 수 있는 부분집합의 개수인 2³ 번 등장합니다.
4. 이 규칙을 모든 원소에 대해 적용합니다.
5. 최종 합 = (1/16 × 2⁴) + (1/8 × 2³) + … + (1 × 2⁰)
주의할 점:
원소들이 분수이더라도, ‘최소 원소’를 세는 원리는 동일합니다. 자기보다 작은 원소는 모두 제외하고 계산합니다.
”
각 부분집합의 최소 원소들의 총합(분수)
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원소 개수 조건이 추가된, 각 부분집합의 가장 큰 원소들의 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 각 원소가 ‘가장 큰 원소’로서 몇 번이나 선택되는지를 셉니다.
2. (9가 최대 원소인 경우) 9를 반드시 포함하고, 9보다 큰 원소는 없는(당연) 부분집합 중, 원소 개수가 2 이상인 것을 셉니다. 9를 제외한 나머지 {1,3,5,7} (4개)로 만드는 부분집합(2⁴개)에 9를 추가하면 되는데, 공집합에 9를 추가한 {9}는 원소가 1개이므로 제외합니다. (2⁴ – 1)번 등장.
3. (7이 최대 원소인 경우) 7을 반드시 포함하고 9는 포함하지 않는 부분집합 중, 원소 개수가 2 이상인 것을 셉니다. 7,9 제외한 {1,3,5}(3개)로 만드는 부분집합(2³개) 중, 공집합 제외. (2³ – 1)번 등장.
4. 이 규칙을 반복하고, 최종 합 = (9 × (2⁴-1)) + (7 × (2³-1)) + … 를 계산합니다.
주의할 점:
최대 원소 문제는 ‘그 원소보다 큰 원소는 모두 제외’하는 조건이 숨어있으며, ‘원소 개수 2 이상’ 조건 때문에 각 경우에서 1씩 빼주어야 합니다.
”
각 부분집합의 최대 원소들의 총합 구하기
“
멱집합(Power Set)의 부분집합의 개수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 집합 A를 원소나열법으로 나타냅니다. A = {1, 3, 9}.
2. P(A)는 집합 A의 **모든 부분집합을 원소로 갖는** 집합입니다.
3. 집합 A의 원소 개수는 3개이므로, A의 부분집합의 개수는 2³ = 8개 입니다.
4. 즉, 집합 P(A)의 **원소의 개수가 8개**입니다. n(P(A)) = 8.
5. 문제에서 묻는 것은 P(A)의 ‘부분집합’의 개수이므로, 2^(n(P(A))) = 2⁸ 입니다.
주의할 점:
P(A)의 원소 개수(2ⁿ)와 P(A)의 부분집합 개수(2^(2ⁿ))를 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
멱집합의 부분집합의 개수 구하기
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멱집합(P(A))의 원소가 될 수 없는 것을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A = {1, 2, 3} 입니다.
2. 멱집합 P(A)의 원소는 A의 **부분집합**들입니다.
– P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
3. 각 보기가 P(A)의 원소 목록에 있는지 확인합니다.
4. 보기 ③의 0은 숫자이며, A의 부분집합이 아니므로 P(A)의 원소가 될 수 없습니다.
주의할 점:
멱집합의 원소는 항상 ‘집합’의 형태를 띠고 있어야 합니다. (공집합 ∅ 포함)
”
멱집합의 원소가 될 수 없는 것 찾기
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멱집합의 원소(∈)와 부분집합(⊂) 관계를 정확히 이해하고 있는지 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A = {1, 2, ∅} 이고, P(A)는 A의 모든 부분집합을 원소로 갖습니다.
2. ① ∅는 A의 부분집합이므로, P(A)의 원소입니다. (∅ ∈ P(A))
3. ② {2}는 A의 부분집합이므로, P(A)의 원소입니다. 따라서 이것을 다시 중괄호로 묶은 {{2}}는 P(A)의 부분집합입니다. ({2} ⊂ P(A))
4. ③ {1,2,∅}는 A 자기 자신이므로 A의 부분집합입니다. 따라서 P(A)의 원소입니다. ( {1,2,∅} ∈ P(A) ). ⊂ 기호를 썼으므로 틀렸습니다.
5. 나머지 보기도 같은 방식으로 원소와 부분집합 관계를 확인합니다.
주의할 점:
P(A)의 원소는 A의 ‘부분집합’들이고, P(A)의 부분집합은 그 ‘부분집합’들을 모아서 만든 새로운 집합입니다. 두 개념을 명확히 구분해야 합니다.
”
멱집합의 원소와 부분집합 관계 이해하기
