📌 한 줄 요약
이차함수 f(x) 와 이를 뒤집고 평행이동한 g(x) 로 만든 조각함수 h(x) 의 그래프 개형을 경우를 나눠 분석하는 문제입니다. 답은 16.
🔎 문제 보기
2025학년도 10월 고1 전국연합학력평가 수학 30번 문제입니다.
🎯 출제자의 의도
“이차함수의 대칭성과 경우 나누기” 가 핵심입니다.
- g(x) = -f(x-m) 은 f(x) 를 x축 대칭 후 오른쪽으로 m 만큼 평행이동한 함수라는 사실을 빠르게 간파할 수 있는가
- 조각함수 h(x) 의 그래프 개형을 α 와 p 의 대소관계에 따라 나누어 논리적으로 분석할 수 있는가
- 수평선 y=t 와의 교점 개수·합에서 이차함수 두 근의 합 공식(대칭축 활용)을 응용할 수 있는가
단순 계산이 아니라 그래프 관찰력 + 경우 분석력을 동시에 평가하는 고난도 4점짜리 킬러문항입니다.
🔑 문제풀이 핵심 단서
- q의 부호 결정
q ≥ 0 이면 f(x) ≥ 0, g(x) ≤ 0 이 되어 f(x) = g(x) 는 서로 다른 두 실근을 가질 수 없습니다. 따라서 q < 0. - h(x) 의 연결 구조
x = α, x = β 에서 f(α) = g(α), f(β) = g(β) 이므로 h(x) 는 끊김 없이 연결됩니다. - α 와 p 의 대소 분류
(i) α ≥ p 인 경우 : h(x) 그래프가 너무 왼쪽으로 치우쳐 조건의 “실근 합 = 4p+2m” 을 절대 만족시키지 못함.
(ii) α < p 인 경우 : 대칭성으로 실근의 합이 4p+2m 이 되는 구간이 존재함. - 실근의 합이 4p+2m 이 되는 수평선 위치
y = h(β) 와 y = -q 사이의 구간, 즉 h(β) < t < -q 일 때만 서로 다른 네 실근이 발생하고 그 합이 x₅+x₆+x₇+x₈ = 2p + (2p+2m) = 4p+2m 이 됩니다. - 구간 일치 조건
문제에서 주어진 범위는 g(p) < t < 5 이므로
h(β) = g(p), -q = 5 → q = -5.
⚡ 시험용 직관적 빠른풀이 (3분 컷)
STEP 1. 부등호 구간 g(p) < t < 5 와 대응되는 구간 h(β) < t < -q 를 매칭
→ q = -5, h(β) = g(p)
STEP 2. h(β) = f(β) = g(β), g(p)는 g의 대칭축 값 = g의 최댓값
g(x) 의 대칭축이 x = p + m 이므로 f(β) = g(p) 와 대칭 조건으로 β = p + 2m
또한 f 의 대칭축 x=p 에 대해 f(β) = f(p + 2m) = f(p – 2m) … (이용은 아래)
STEP 3. f(β) = (1/2)(2m)² + q = 2m² – 5
g(p) = -f(p – m) = -{(1/2)m² + q} = -(1/2)m² + 5
두 값이 같다 → 2m² – 5 = -(1/2)m² + 5 → m² = 4, m = 2
STEP 4. f(m) + g(m) = -4 조건 대입
f(2) + g(2) = {(1/2)(2-p)² – 5} + {-(1/2)p² + 5} = -2p + 2 = -4
→ p = 3
STEP 5. m × (p – q) = 2 × (3 – (-5)) = 2 × 8 = 16 ✅
📝 정식 풀이 (완전 해설)
① q의 부호 판별 & 경우 (i) : α ≥ p
q ≥ 0 이면 f(x) = g(x) 의 서로 다른 두 실근이 존재하지 않으므로 q < 0.
이때 f(x) 와 g(x) 는 두 점 P(α, f(α)), Q(β, f(β)) 에서 만납니다.
경우 (i) α ≥ p 일 때의 h(x) 그래프:
t > q 인 모든 t 에 대해 h(x) = t 의 실근은 2개이고, 실근의 합 x₁ + x₂ 는 f(x) = t 의 두 근의 합 2p 보다 작거나 같습니다.
→ x₁ + x₂ ≤ 2p < 4p + 2m (∵ p > 0, m > 0)
조건을 만족할 수 없음. 따라서 α < p.
② 경우 (ii) : α < p – 세부 분석
α < p 일 때 h(x) 그래프 개형:
수평선 y = t 의 위치에 따라 실근 개수가 달라집니다.
- h(α) < t < h(β) 또는 t > -q → 실근 2개
- t = h(β) 또는 t = -q → 실근 3개
- h(β) < t < -q → 실근 4개 ← 핵심 구간
(a) h(α) < t < h(β) 인 경우 실근의 합이 2p 이하가 되어 4p+2m 에 못 미침. 탈락.
(b) t = h(β) 또는 t = -q 인 경우 실근의 합이 3p+m 이하라 탈락.
③ (c) h(β) < t < -q 에서 조건 만족
네 교점의 x좌표를 작은 순서대로 x₅, x₆, x₇, x₈ 라 하면
- x₅, x₈ 은 f(x) = t 의 두 근 → 대칭축 x=p 로 x₅ + x₈ = 2p
- x₆, x₇ 은 g(x) = t 의 두 근 → 대칭축 x=p+m 으로 x₆ + x₇ = 2p + 2m
∴ x₅ + x₆ + x₇ + x₈ = 4p + 2m ✅
문제의 t 범위 g(p) < t < 5 와 일치시키면:
h(β) = g(p) 그리고 -q = 5 → q = -5
④ m 과 p 구하기
h(β) = f(β) = g(β) 이고 y = g(x) 는 직선 x = p+m 에 대해 대칭이므로
β + p = 2(p + m) → β = p + 2m
따라서
f(β) = f(p + 2m) = (1/2)(2m)² – 5 = 2m² – 5
g(p) = -f(p – m) = -{ (1/2)(-m)² – 5 } = -(1/2)m² + 5
f(β) = g(p) 에서
2m² – 5 = -(1/2)m² + 5 → (5/2)m² = 10 → m² = 4 → m = 2
이제 f(x) = (1/2)(x-p)² – 5, g(x) = -(1/2)(x-2-p)² + 5.
조건 f(m) + g(m) = f(2) + g(2) = -4 에 대입:
f(2) + g(2) = { (1/2)(2-p)² – 5 } + { -(1/2)p² + 5 } = -2p + 2
-2p + 2 = -4 → p = 3
⑤ 최종 답
m × (p – q) = 2 × {3 – (-5)} = 2 × 8 = 16
💡 마무리 체크포인트
- ✅ g(x) = -f(x-m) 을 보면 “x축 대칭 + 평행이동” 이 즉시 떠올라야 합니다.
- ✅ 조각함수 문제는 “경계에서의 대소 + 대칭축 활용” 이 항상 열쇠입니다.
- ✅ “실근의 합” 문제는 근호 풀이 대신 이차함수 대칭축으로 처리하세요 (근의 합 = 2·대칭축).
- ✅ 조건의 부등식
g(p) < t < 5의 양끝을 각각 그래프 위의 어떤 y값과 매칭할지 판단하는 게 핵심 관문입니다.