📌 고난도 TOUGH 문제! aˣ를 직접 구해야 하는 2단계 확장 풀이를 정복하세요!
이 문제는 a²ˣ를 구한 뒤 aˣ = √(a²ˣ)까지 구해서, (3/2)x승 분수식에 대입하는 고난도 유형입니다. 64번과 동일한 STEP A(분모·분자에 aˣ 곱하기)를 거치지만, STEP B에서 분모·분자에 a^(½x)를 곱해 aˣ와 a⁻ˣ 꼴로 정리하는 것이 핵심 차이입니다. 정답은 ② √2/3입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 65번 · 최다빈출 왕중요 · TOUGH)
a > 0이고 (aˣ−a⁻ˣ)/(aˣ+a⁻ˣ) = 1/3일 때, (a^(3x/2)−a^(-1x/2)) / (a^(1x/2)+a^(-3x/2))의 값을 구하는 문제입니다. 정답은 ② √2/3입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
(aˣ−a⁻ˣ)/(aˣ+a⁻ˣ) = 1/3에서 좌변의 분모·분자에 각각 aˣ를 곱하면
aˣ(aˣ−a⁻ˣ) / aˣ(aˣ+a⁻ˣ) = (a²ˣ−1) / (a²ˣ+1) = 1/3
3(a²ˣ−1) = a²ˣ+1, 3a²ˣ − 3 = a²ˣ + 1, 2a²ˣ = 4
∴ a²ˣ = 2
이때 a²ˣ = 2이므로 aˣ = √2 (∵ a > 0)
(a^(3x/2)−a^(-1x/2)) / (a^(1x/2)+a^(-3x/2))의 분모·분자에 a^(½x)를 곱하면
a^(½x)(a^(3x/2)−a^(-x/2)) / a^(½x)(a^(x/2)+a^(-3x/2)) = (a²ˣ−1) / (aˣ+a⁻ˣ)
a²ˣ = 2이므로 분자 = 2 − 1 = 1
aˣ = √2, a⁻ˣ = 1/√2이므로 분모 = √2 + 1/√2 = (2+1)/√2 = 3/√2
∴ 1 ÷ (3/√2) = √2/3 = √2/3
∴ 정답: ② √2/3
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① a²ˣ = 2에서 aˣ = 2로 잘못 쓰는 경우.
aˣ = √(a²ˣ) = √2입니다. a²ˣ = (aˣ)²이므로 제곱근을 취해야 합니다.
실수 ② STEP B에서 분모·분자에 무엇을 곱해야 할지 모르는 경우.
지수가 (3/2)x와 (-3/2)x처럼 반정수이면 a^(½x)를 곱해서 정수 지수로 만드세요.
실수 ③ √2 + 1/√2를 계산할 때 유리화를 빠뜨리는 경우.
√2 + 1/√2 = (2+1)/√2 = 3/√2 = 3√2/2 로 정리해야 합니다.
💡 꿀팁 – 반정수 지수 분수식 공략법
지수에 1/2이 포함된 분수식이 나오면:
① 먼저 a²ˣ를 구한다 (분모·분자 aˣ 곱하기)
② aˣ = √(a²ˣ)를 구한다 (a > 0 조건 활용)
③ 구하는 식의 분모·분자에 a^(½x)를 곱해서 aˣ, a⁻ˣ 꼴로 정리
④ 값을 대입하여 계산
이 4단계를 숙지하면 TOUGH 문제도 체계적으로 풀 수 있습니다.