📌 내신 최다빈출! a²ˣ를 구한 뒤 3x승 분수식까지 확장하는 2단계 풀이를 익히세요!
이 문제는 (aˣ−a⁻ˣ)/(aˣ+a⁻ˣ) 꼴에서 a²ˣ를 구한 뒤, (a³ˣ−a⁻³ˣ)/(a³ˣ+a⁻³ˣ)까지 확장하는 최다빈출 왕중요 유형입니다. STEP A에서 a²ˣ를 구하고, STEP B에서 주어진 식의 분모·분자에 각각 aˣ를 곱해 a⁴ˣ 꼴로 변환하는 것이 핵심입니다. 정답은 ② 4/5입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 64번 · 최다빈출 왕중요)
a > 0이고 (aˣ−a⁻ˣ)/(aˣ+a⁻ˣ) = 1/2일 때, (a³ˣ−a⁻³ˣ)/(a³ˣ+a⁻³ˣ)의 값을 구하는 문제입니다. 정답은 ② 4/5입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
(aˣ−a⁻ˣ)/(aˣ+a⁻ˣ) = 1/2에서 좌변의 분모·분자에 각각 aˣ를 곱하면
aˣ(aˣ−a⁻ˣ) / aˣ(aˣ+a⁻ˣ) = (a²ˣ−1) / (a²ˣ+1) = 1/2
2(a²ˣ−1) = a²ˣ+1, 2a²ˣ − 2 = a²ˣ + 1
∴ a²ˣ = 3
(aˣ−a⁻ˣ)/(aˣ+a⁻ˣ) = 1/2에서 2(aˣ−a⁻ˣ) = aˣ+a⁻ˣ ∴ aˣ = 3a⁻ˣ
이때 양변에 aˣ를 곱하면 a²ˣ = 3
(a³ˣ−a⁻³ˣ)/(a³ˣ+a⁻³ˣ)의 분모·분자에 각각 aˣ를 곱하면
aˣ(a³ˣ−a⁻³ˣ) / aˣ(a³ˣ+a⁻³ˣ) = (a⁴ˣ−a⁻²ˣ) / (a⁴ˣ+a⁻²ˣ)
a⁴ˣ = (a²ˣ)² = 9, a⁻²ˣ = 1/3이므로
= (a⁴ˣ − 1) / (a⁴ˣ + 1) = ((a²ˣ)² − 1) / ((a²ˣ)² + 1) = (9 − 1) / (9 + 1) = 8/10 = 4/5
∴ 정답: ② 4/5
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① STEP B에서 a³ˣ 분수식을 처리할 때, 분모·분자에 aˣ가 아닌 a³ˣ를 곱하는 경우.
a³ˣ를 곱해도 풀리지만, aˣ를 곱하면 (a⁴ˣ−1)/(a⁴ˣ+1) 꼴로 더 간단해집니다.
실수 ② (a²ˣ)²−1 = 9−1 = 8과 (a²ˣ)²+1 = 10에서 약분을 잊고 8/10으로 남기는 경우.
반드시 기약분수 4/5로 정리하세요.
💡 꿀팁 – (aⁿˣ−a⁻ⁿˣ)/(aⁿˣ+a⁻ⁿˣ) 꼴의 빠른 변환
분자·분모가 aⁿˣ ± a⁻ⁿˣ 형태이면, 분모·분자에 aˣ를 곱해 a²ˣ에 대한 식으로 바꿀 수 있습니다.
핵심: (a²ˣ−1)/(a²ˣ+1) = k이면 → a²ˣ = (1+k)/(1−k) 으로 바로 구할 수도 있습니다.
예를 들어 k = 1/2이면 a²ˣ = (1+1/2)/(1−1/2) = (3/2)/(1/2) = 3 으로 한 줄에 끝!