📌 a²ˣ를 구한 뒤 a⁻²ˣ까지 합산하는 2단계 풀이, 놓치지 마세요!
이 문제는 aˣ ± a⁻ˣ 분수식에서 a²ˣ를 구한 뒤, a²ˣ + a⁻²ˣ를 계산하는 유형입니다. 62번과 유사하지만, 최종 답에서 a⁻²ˣ = 1/a²ˣ까지 더해줘야 합니다. 정답은 ④ 5/2입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 63번)
(aˣ+a⁻ˣ)/(aˣ−a⁻ˣ) = 3일 때, a²ˣ + a⁻²ˣ의 값을 구하는 문제입니다. (단, a > 0, a ≠ 1) 정답은 ④ 5/2입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
(aˣ+a⁻ˣ)/(aˣ−a⁻ˣ) = 3에서 좌변의 분모·분자에 각각 aˣ를 곱하면
aˣ(aˣ+a⁻ˣ) / aˣ(aˣ−a⁻ˣ) = (a²ˣ+1) / (a²ˣ−1) = 3
a²ˣ + 1 = 3(a²ˣ − 1), a²ˣ + 1 = 3a²ˣ − 3
2a²ˣ = 4 ∴ a²ˣ = 2
(aˣ+a⁻ˣ)/(aˣ−a⁻ˣ) = 3에서 3(aˣ−a⁻ˣ) = aˣ+a⁻ˣ, 2aˣ = 4a⁻ˣ ∴ aˣ = 2a⁻ˣ
이때 양변에 aˣ를 곱하면 a²ˣ = 2
a²ˣ = 2이므로 a⁻²ˣ = 1/a²ˣ = 1/2
따라서 a²ˣ + a⁻²ˣ = 2 + 1/2 = 5/2
∴ 정답: ④ 5/2
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① a²ˣ = 2를 구한 뒤 a⁻²ˣ = −2로 착각하는 경우.
a⁻²ˣ = 1/a²ˣ = 1/2이지, 부호가 바뀌는 것이 아닙니다.
실수 ② a²ˣ + a⁻²ˣ를 묻는 문제인데 a²ˣ만 답으로 쓰는 경우.
최종 답은 a²ˣ + a⁻²ˣ = 2 + 1/2 = 5/2입니다.
💡 꿀팁 – a²ˣ + a⁻²ˣ 패턴 정리
a²ˣ = k를 구했다면, 자주 묻는 확장값들을 정리하세요.
① a⁻²ˣ = 1/k
② a²ˣ + a⁻²ˣ = k + 1/k
③ a⁴ˣ = k²
④ a²ˣ − a⁻²ˣ = k − 1/k
이 4가지를 바로 쓸 수 있으면 후속 문제도 빠르게 처리됩니다.