📌 aˣ+a⁻ˣ, aˣ−a⁻ˣ 분수식에서 분모·분자에 aˣ를 곱하는 핵심 테크닉, 확실히 잡고 가세요!
이 문제는 a²ˣ의 값을 이용해 분모·분자에 aˣ를 곱하는 변환 테크닉을 묻는 학교 기출 대표 유형입니다. a³ˣ+a⁻³ˣ를 a²ˣ로 바꾸는 과정에서 실수가 자주 나옵니다. 분모·분자에 aˣ를 곱해 a²ˣ 꼴로 정리하는 과정을 하나씩 따라가 봅시다. 정답은 ⑤ 17입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 61번 · 학교기출 대표유형)
a > 0, a ≠ 1이고 a²ˣ = 3일 때, (a³ˣ+a⁻³ˣ)/(aˣ−a⁻ˣ) = q/p이다. p, q는 서로소인 자연수일 때 p+q의 값을 구하는 문제입니다. 정답은 ⑤ 17입니다.
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※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
(a³ˣ+a⁻³ˣ)/(aˣ−a⁻ˣ)의 분모·분자에 각각 aˣ를 곱하면
= aˣ(a³ˣ+a⁻³ˣ) / aˣ(aˣ−a⁻ˣ) = (a⁴ˣ+a⁻²ˣ) / (a²ˣ−1)
a²ˣ = 3이므로 a⁴ˣ = (a²ˣ)² = 9, a⁻²ˣ = 1/3
= (9 + 1/3) / (3 − 1) = (28/3) / 2 = 14/3
q/p = 14/3이므로 p = 3, q = 14 (서로소)
따라서 p + q = 3 + 14 = 17
∴ 정답: ⑤ 17
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 분모·분자에 aˣ를 곱할 때 지수 계산을 틀리는 경우.
aˣ × a³ˣ = a⁴ˣ, aˣ × a⁻³ˣ = a⁻²ˣ임을 꼼꼼히 확인하세요.
실수 ② a⁻²ˣ = 1/a²ˣ = 1/3 을 빠뜨리고 분자에서 누락하는 경우.
양의 지수만 계산하고 음의 지수 항을 잊으면 답이 완전히 달라집니다.
실수 ③ 최종 답 14/3에서 p와 q를 혼동하는 경우.
문제에서 q/p 형태인지 p/q 형태인지 반드시 재확인하세요.
💡 꿀팁 – aˣ ± a⁻ˣ 분수식 공략법
aˣ와 a⁻ˣ가 섞인 분수식이 나오면 무조건 분모·분자에 aˣ(또는 a²ˣ 등)를 곱해서
음의 지수를 없애는 것이 핵심 전략입니다.
① 분모·분자에 aˣ를 곱한다 → a²ˣ 꼴로 통일
② 주어진 a²ˣ 값을 대입한다
③ 분수 계산 → 기약분수로 정리
이 3단계를 기계적으로 적용하면 61~65번 유형을 모두 빠르게 처리할 수 있습니다.