📌 3ˣ−3⁻ˣ = 3에서 제곱·세제곱 두 단계를 한 번에 해결하는 법!
이 문제는 제곱과 세제곱 전개를 동시에 활용하는 유형입니다. 3ˣ−3⁻ˣ = 3을 제곱하면 3²ˣ−2+3⁻²ˣ = 9이므로 3²ˣ+3⁻²ˣ = 11, 세제곱하면 3³ˣ−3·3ˣ·3⁻ˣ(3ˣ−3⁻ˣ)−3⁻³ˣ = 27이므로 3³ˣ−3⁻³ˣ = 27+3×3 = 36. 따라서 (36+3)/(11+2) = 39/13 = 3. 정답은 ② 3입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 55번 · NORMAL)
3ˣ−3⁻ˣ = 3일 때, (3³ˣ−3⁻³ˣ+3)/(3²ˣ+3⁻²ˣ+2)의 값을 구하는 문제입니다. 제곱으로 분모를, 세제곱으로 분자를 각각 구합니다. 정답은 ②입니다.
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※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
3ˣ−3⁻ˣ = 3의 양변을 제곱하면
(3ˣ−3⁻ˣ)² = 3²에서 3²ˣ−2+3⁻²ˣ = 9
∴ 3²ˣ+3⁻²ˣ = 11
3ˣ−3⁻ˣ = 3의 양변을 세제곱하면
(3ˣ−3⁻ˣ)³ = 3³에서
3³ˣ−3·3ˣ·3⁻ˣ·(3ˣ−3⁻ˣ)−3⁻³ˣ = 27
3³ˣ−3⁻³ˣ−3×1×3 = 27
∴ 3³ˣ−3⁻³ˣ = 36
← 3³ˣ−3⁻³ˣ = (3ˣ−3⁻ˣ)(3²ˣ+1+3⁻²ˣ) = 3(11+1) = 36
따라서 (3³ˣ−3⁻³ˣ+3)/(3²ˣ+3⁻²ˣ+2) = (36+3)/(11+2) = 39/13 = 3
∴ 정답: ② 3
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 세제곱 전개 시 (A−B)³ = A³−3A²B+3AB²−B³에서 가운데 두 항을 정리할 때 실수.
3·3ˣ·3⁻ˣ = 3·1 = 3이고, 여기에 (3ˣ−3⁻ˣ) = 3을 곱하면 3×3 = 9입니다.
실수 ② 인수분해 방법: 3³ˣ−3⁻³ˣ = (3ˣ−3⁻ˣ)(3²ˣ+3ˣ·3⁻ˣ+3⁻²ˣ) = (3ˣ−3⁻ˣ)(3²ˣ+1+3⁻²ˣ)임을 기억하면 더 빠릅니다.
실수 ③ 분자에 +3, 분모에 +2를 빠뜨리는 경우. 문제를 다시 읽고 상수항을 확인하세요.
💡 꿀팁 – “차의 세제곱” 인수분해 활용법
A³−B³ = (A−B)(A²+AB+B²) 공식을 활용하면 세제곱을 직접 전개하지 않아도 됩니다.
3³ˣ−3⁻³ˣ = (3ˣ)³−(3⁻ˣ)³ = (3ˣ−3⁻ˣ)(3²ˣ+1+3⁻²ˣ)
여기서 3ˣ·3⁻ˣ = 1이므로 AB = 1, A²+AB+B² = 3²ˣ+1+3⁻²ˣ = 11+1 = 12
따라서 3³ˣ−3⁻³ˣ = 3×12 = 36. 이 방법이 전개보다 훨씬 빠릅니다.