📌 a^½−a^(-½) = 2에서 a+a⁻¹, a²+a⁻²를 한 번에 구하는 법!
이 문제는 “양변을 제곱하여 차수를 올리는” 제곱 사다리의 대표적인 최다빈출 왕중요 유형입니다. a^½−a^(-½) = 2를 제곱하면 a−2+a⁻¹ = 4이므로 a+a⁻¹ = 6, 이것을 다시 제곱하면 a²+2+a⁻² = 36이므로 a²+a⁻² = 34. 따라서 (34−7)/(6−3) = 27/3 = 9입니다. 정답은 ④ 9입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 54번 · 최다빈출 왕중요)
a^(1/2)−a^(-1/2) = 2일 때 (단, a > 0), (a²+a⁻²−7)/(a+a⁻¹−3)의 값을 구하는 문제입니다. 양변을 반복 제곱하여 분자·분모에 필요한 값을 각각 구합니다. 정답은 ④입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
a^(1/2)−a^(-1/2) = 2의 양변을 제곱하면
(a^(1/2)−a^(-1/2))² = 2²에서 a−2+a⁻¹ = 4
∴ a+a⁻¹ = 6
← a+a⁻¹ = (a^½−a^(-½))²+2 = 2²+2 = 6
a+a⁻¹ = 6의 양변을 제곱하면
(a+a⁻¹)² = 6²에서 a²+2+a⁻² = 36
∴ a²+a⁻² = 34
← a²+a⁻² = (a+a⁻¹)²−2 = 6²−2 = 34
따라서 (a²+a⁻²−7)/(a+a⁻¹−3) = (34−7)/(6−3) = 27/3 = 9
∴ 정답: ④ 9
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① (a^½−a^(-½))²을 전개할 때 가운데 항의 부호를 틀리는 경우.
(A−B)² = A²−2AB+B²이므로 a−2+a⁻¹ = 4입니다. +2가 아닙니다.
실수 ② 51번(합)과 54번(차)을 혼동하는 경우.
합 제곱: (a^½+a^(-½))² = a+2+a⁻¹ / 차 제곱: (a^½−a^(-½))² = a−2+a⁻¹. 부호가 반대입니다.
실수 ③ 최종 분수 계산에서 분자·분모에 대입할 값을 바꾸는 경우.
분자: a²+a⁻²−7 = 34−7 = 27 / 분모: a+a⁻¹−3 = 6−3 = 3.
💡 꿀팁 – “차의 제곱 → 합” 변환 공식
합과 차의 관계를 정리하면:
① (a^½−a^(-½))² = a+a⁻¹−2 → a+a⁻¹ = (차)²+2
② (a^½+a^(-½))² = a+a⁻¹+2 → a+a⁻¹ = (합)²−2
즉 “차 → 합은 +2, 합 → 합은 −2”를 기억하면 한 줄로 계산 가능합니다.