📌 x = ∛3 + 1/∛3을 세제곱하면 x³와 x 사이의 관계가 보입니다!
이 문제는 (a+b)³ = a³+b³+3ab(a+b) 전개 공식을 활용하는 유형입니다. x = 3^(1/3)+3^(-1/3)에서 양변을 세제곱하면 x³ = 3+1/3+3·3^(1/3)·3^(-1/3)·x = 10/3+3x가 됩니다. 따라서 x³−3x = 10/3이고, 3x³−9x = 3(x³−3x) = 3×10/3 = 10. 정답은 ④ 10입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 53번 · NORMAL)
x = ∛3 + 1/∛3 일 때, 3x³−9x의 값을 구하는 문제입니다. 양변을 세제곱하여 x³과 x의 관계식을 만든 뒤, 3을 곱하여 마무리합니다. 정답은 ④입니다.
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※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
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🔍 핵심 풀이 요약
x = 3^(1/3)+3^(-1/3)의 양변을 세제곱하면
x³ = (3^(1/3)+3^(-1/3))³
= (3^(1/3))³ + (3^(-1/3))³ + 3·3^(1/3)·3^(-1/3)·(3^(1/3)+3^(-1/3))
= 3 + 1/3 + 3·1·x
= 10/3 + 3x
이므로 x³ − 3x = 10/3
따라서 3x³−9x = 3(x³−3x) = 3 × 10/3 = 10
∴ 정답: ④ 10
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① (a+b)³ 전개 시 공식을 잘못 적용하는 경우.
(a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b)입니다. 3ab(a+b)에서 (a+b) = x임을 놓치면 안 됩니다.
실수 ② 3^(1/3)·3^(-1/3) = 3⁰ = 1을 놓치는 경우.
a = 3^(1/3), b = 3^(-1/3)일 때 ab = 3^(1/3-1/3) = 3⁰ = 1이므로 3ab = 3입니다.
실수 ③ x³−3x = 10/3을 구한 뒤 3x³−9x = 3(x³−3x)로 묶는 것을 못 보는 경우.
문제가 3x³−9x를 구하라고 했으므로, 3으로 인수분해하면 바로 답이 나옵니다.
💡 꿀팁 – “세제곱 전개 → 원래 식 대입” 패턴
x = a + b 꼴에서 x³이나 x³−kx를 구하라고 하면:
① x = a+b의 양변을 세제곱한다
② (a+b)³ = a³+b³+3ab(a+b) = a³+b³+3ab·x → x³과 x의 관계식 완성
③ x³−3ab·x = a³+b³ 형태로 정리
④ 문제에서 요구하는 계수를 맞춰 답 계산
이 패턴에서 핵심은 3ab(a+b)의 (a+b) 부분이 바로 x라는 것입니다.
51번의 “제곱 사다리”가 2차에 유용했다면, 이 “세제곱 대입”은 3차에 유용한 도구입니다.