📌 “곡선 위의 점”이라는 조건에서 pq = 9를 바로 뽑아내야 합니다!
이 문제는 곡선의 방정식 + 곱셈 공식을 결합하는 최다빈출 왕중요 유형입니다. 점 (p, q)가 y = 9/x 위에 있으므로 pq = 9라는 핵심 조건이 나오고, p^(1/2)+q^(1/2) = 2√3을 제곱하면 p+2(pq)^(1/2)+q = 12에서 p+q = 6을 구합니다. 최종적으로 p²+q² = (p+q)²−2pq = 36−18 = 18입니다. 정답은 ② 18입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 52번 · 최다빈출 왕중요)
점 (p, q)가 곡선 y = 9/x (x > 0) 위의 점이고 p^(1/2)+q^(1/2) = 2√3일 때, p²+q²의 값을 구하는 문제입니다. 곡선 조건에서 pq를, 제곱 공식에서 p+q를 구한 뒤 곱셈 공식으로 마무리합니다. 정답은 ②입니다.
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※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
점 (p, q)가 곡선 y = 9/x (x > 0) 위의 점이므로
q = 9/p → pq = 9
p^(1/2)+q^(1/2) = 2√3의 양변을 제곱하면
(p^(1/2))² + 2·p^(1/2)·q^(1/2) + (q^(1/2))² = 12
p + 2(pq)^(1/2) + q = 12
p + 2×(9)^(1/2) + q = 12
p + 2×3 + q = 12
∴ p + q = 6
따라서 p²+q² = (p+q)²−2pq = 6²−2×9 = 36−18 = 18
∴ 정답: ② 18
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 곡선 y = 9/x에서 pq = 9를 뽑아내지 못하는 경우.
점 (p, q)가 곡선 위에 있으면 q = 9/p, 즉 pq = 9입니다. 이 조건을 먼저 확보하세요.
실수 ② (p^(1/2)+q^(1/2))²을 전개할 때 교차항 2(pq)^(1/2)를 놓치는 경우.
p^(1/2)·q^(1/2) = (pq)^(1/2) = 9^(1/2) = 3입니다. 교차항은 2×3 = 6이 됩니다.
실수 ③ p²+q²를 (p+q)²로 바로 답을 쓰는 경우.
p²+q² = (p+q)²−2pq입니다. −2pq를 빼는 것을 잊지 마세요.
💡 꿀팁 – “곡선 위의 점” 문제 3단계 풀이법
이 유형은 항상 같은 3단계로 풀립니다.
① 곡선 조건에서 pq (= 곱)를 구한다 → y = k/x 위의 점이면 pq = k
② 제곱 공식으로 p+q (= 합)를 구한다 → (√p+√q)² 전개
③ 곱셈 공식 변형으로 목표 식을 구한다 → p²+q² = (p+q)²−2pq
이 3단계를 머리에 넣어두면 비슷한 유형을 빠르게 해결할 수 있습니다.