📌 x^½+x^(-½) = 3에서 x²+x⁻²까지 한 번에 구하는 법, 알고 계시나요?
이 문제는 “양변을 제곱하여 차수를 올리는” 전형적인 학교 기출 대표 유형입니다. x^½+x^(-½) = 3을 제곱하면 x+2+x⁻¹ = 9이므로 x+x⁻¹ = 7, 다시 x+x⁻¹ = 7을 제곱하면 x²+2+x⁻² = 49이므로 x²+x⁻² = 47. 따라서 (x+x⁻¹)+(x²+x⁻²) = 7+47 = 54입니다. 핵심은 “제곱할 때마다 차수가 2배”라는 규칙입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 51번 · 학교기출 대표유형)
양수 x에 대하여 x^(1/2)+x^(-1/2) = 3일 때, x+x⁻¹+x²+x⁻²의 값을 구하는 문제입니다. 양변을 반복 제곱하여 차수를 높이는 것이 핵심 전략입니다. 정답은 54입니다.
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※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
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🔍 핵심 풀이 요약
(x^(1/2)+x^(-1/2))² = x + 2·x^(1/2)·x^(-1/2) + x⁻¹ 이므로
3² = x + 2 + x⁻¹
∴ x + x⁻¹ = 7
(x+x⁻¹)² = x² + 2·x·x⁻¹ + x⁻² 이므로
7² = x² + 2 + x⁻²
∴ x² + x⁻² = 47
따라서 x+x⁻¹+x²+x⁻² = 7 + 47 = 54
∴ 정답: 54
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 제곱 전개 시 가운데 항(교차항)을 빠뜨리는 경우.
(A+B)² = A²+2AB+B²에서 2AB 부분이 핵심입니다.
x^(1/2)·x^(-1/2) = x⁰ = 1이므로 가운데 항은 항상 2입니다.
실수 ② x+x⁻¹을 구한 뒤 x²+x⁻²를 구하지 않고 바로 답을 쓰는 경우.
문제가 x+x⁻¹+x²+x⁻²를 구하라고 했으므로 두 번째 제곱까지 반드시 진행해야 합니다.
실수 ③ (x+x⁻¹)²을 전개할 때 x·x⁻¹ = 1임을 놓치는 경우.
x·x⁻¹ = x^(1-1) = x⁰ = 1입니다.
💡 꿀팁 – “제곱 사다리” 공식 정리
이 유형에서 쓰이는 핵심 공식을 사다리처럼 정리하면:
① x^(1/2)+x^(-1/2) = k → 제곱 → x+x⁻¹ = k²−2
② x+x⁻¹ = m → 제곱 → x²+x⁻² = m²−2
③ x²+x⁻² = n → 제곱 → x⁴+x⁻⁴ = n²−2
매번 “제곱 후 −2”만 기억하면 어떤 차수든 순차적으로 구할 수 있습니다.
이 문제에서는 3→7(=9−2)→47(=49−2), 답 = 7+47 = 54입니다.