📌 분수 5개를 다 계산하려다 시간을 다 썼다면? 텔레스코핑 합산법을 기억하세요!
이 문제는 분수식 합 텔레스코핑(Telescoping)의 최다빈출 왕중요 유형입니다. 처음 두 항의 분모 (1−a^(1/8))(1+a^(1/8)) = 1−a^(1/4) 임을 이용하여 5개의 분수항을 단계적으로 묶어 나가면 결국 단 하나의 분수로 합쳐집니다. a = √2/2 = 2^(−1/2) 임을 유리수 지수로 변환하는 것이 마지막 계산의 핵심입니다. 정답은 ③ 64입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 46번 · 최다빈출 왕중요)
a = √2/2 일 때, 다음 식의 값을 구하시오.
2/(1−a^(1/8)) + 2/(1+a^(1/8)) + 4/(1+a^(1/4)) + 8/(1+a^(1/2)) + 16/(1+a)
분수식의 텔레스코핑 구조를 파악하여 단계적으로 합산하는 것이 핵심입니다.
정답은 ③입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약 (텔레스코핑 4단계)
2/(1−a^(1/8)) + 2/(1+a^(1/8))
= [2(1+a^(1/8)) + 2(1−a^(1/8))] / [(1−a^(1/8))(1+a^(1/8))]
= 4 / (1 − a^(1/4))
분자의 a^(1/8) 항이 상쇄되고 분모는 합차공식으로 정리됩니다.
4/(1−a^(1/4)) + 4/(1+a^(1/4))
= 8 / (1 − a^(1/2))
동일한 구조가 반복됩니다. (1−a^(1/4))(1+a^(1/4)) = 1−a^(1/2)
8/(1−a^(1/2)) + 8/(1+a^(1/2))
= 16 / (1 − a)
분모가 한 단계씩 올라가는 패턴이 이어집니다.
16/(1−a) + 16/(1+a) = 32 / (1 − a²)
a = √2/2 = 2^(−1/2) 이므로 a² = 1/2
→ 1 − a² = 1 − 1/2 = 1/2
→ 32 ÷ (1/2) = 64
∴ 정답: ③ 64
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 5개 항을 각각 계산하려는 경우. a^(1/8) 을 소수로 근사하면 계산 오류가 생깁니다.
반드시 텔레스코핑(항 묶기) 방식으로 접근해야 합니다.
실수 ② 마지막 단계에서 a² 를 잘못 계산하는 경우. a = √2/2 이므로 a² = (√2/2)² = 2/4 = 1/2 입니다.
제곱을 하면 √가 사라지는 것을 반드시 확인하세요.
실수 ③ 32/(1/2) = 16 으로 계산하는 나누기 실수. 분수로 나누기는 역수를 곱하는 것이므로 32 × 2 = 64 입니다.
💡 꿀팁 – 텔레스코핑 분수 합 빠른 인식법
이 유형의 핵심 패턴: 분모가 (1−t)(1+t) 형태이고 계수가 2배씩 늘어나면 텔레스코핑!
① 앞 두 항의 분모를 곱해 다음 항 분모와 같은지 확인합니다.
② 계수가 2, 2, 4, 8, 16 … 처럼 2배씩 증가하면 구조가 맞습니다.
③ 마지막 합산 결과인 c/(1−a²) 에 a² 값을 대입하면 끝!
이 패턴은 시험에서 매우 자주 등장합니다. 반드시 익혀두세요.